Calcule as seguintes integrais:

e) ∫ x 2 + 2 x + 2   d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Podemos fatorar esse monstrinho par obter uma coisa mais visivelmente bonito, e vermos o que podemos tirar. Veja:

Sabemos que x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 . Assim:

∫ ( x + 1 2 + 1   d x

Veja que cai uma coisa mais parecida com tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , e dessa forma podemos resolver essa coisa.

Se isso te ajudou, carinha, vamos resolver essa questão juntos. Nada melhor que um exemplo, e vai ver como o resultado vai sair fácil facil.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Façamos u = x + 1 , de forma que d x = d u .

OS: não se esqueça dessa transformação.

Assim temos:

∫ u 2 + 1   d u

Como dito antes, o jeito conhecido é se fizermos a substituição trigonométrica. Qual se encaixa melhor aqui, carinha? É a com tangente, né? Assim:

u = tan ⁡ θ

De forma que:

d u = sec 2 ⁡ θ   d θ

Portanto, após as substituições obtemos ao final:

∫ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ   d θ

Como demos antes, sabemos que 1 + tan 2 ⁡ θ = sec ⁡ θ .   Ficando ao final:

∫ sec 3 ⁡ θ   d θ

Passo 3

Temos uma técnica de integração já conhecida para sec n ⁡ θ quando n > 2 . Ela aparece na tabela de técnicas de integração no fim dos livros de cálculos. É útil sempre a usarmos. Isto é:

sec n - 2 ⁡ θ tan ⁡ θ n - 1     + n - 2 n - 1   ∫ sec n - 2 ⁡ d θ

Sendo n = 3 , temos então:

sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ

Mas tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ e sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ ,   assim sec ⁡ θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ . Portanto:

sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ

Da mesa tabela de integrais, temos a integral para sec ⁡ θ , isto é:

∫ sec ⁡ θ   d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Não podemos esquecer da bendita constante.

Assim temos ao final:

sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2     + 1 2   ∫ sec θ ⁡ d θ = sec 2 ⁡ θ sin ⁡ θ 2 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C

Lembra da nossa substituição? tan ⁡ θ = u → θ = arctan ⁡ u e sendo u = x + 1 , então θ = arctan ⁡ ( x + 1 ) . Portanto:

sec 2 ⁡ arctan ⁡ x + 1 sin ⁡ arctan ⁡ x + 1 2 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ arctan ⁡ x + 1 + tan ⁡ arctan ⁡ x + 1 + C

Mas sec 2 ⁡ arctan ⁡ x + 1 = x + 1 2 + 1 e s i n ⁡ ( arctan ⁡ ( x + 1 ) ) = x + 1 x + 1 2 + 1 . Assim n o final obtemos uma coisa menos escrota, que é:

x + 1 2 + 1   x + 1 x + 1 2 + 1 2 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + x + 1 x + 1 2 + 1 + C

E ainda atem uma última coisa:

x + 1 2 + 1   x + 1 x + 1 2 + 1 = x + 1 x 2 + 2 x + 1

x + 1 x 2 + 2 x + 1 2 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 1 + C

Resumindo:

∫ x 2 + 2 x + 2   d x = x + 1 x 2 + 2 x + 1 2 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 1 + C

Não podemos esquecer da bendita constante.

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ x 2 + 2 x + 2   d x = x + 1 x 2 + 2 x + 1 2 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + x 2 + 2 x + 1 + C

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Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
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Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x