Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triangulo retângulo.

b) ∫ x x 2 - 3     d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Veja que nesse caso temos uma variante x 2 - 3 podemos a partir dela chegar em algo parecido com o que foi dado em cima. Como?

Fatorando o 3:

3 x 2 3 - 1 = 3     x 2 3 - 1

E estamos agora mais próximos de alguma possível substituição e assim o resultado sai fácil fácil

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Se você optou pela substituição com tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , você acertou pois podemos achar alguma substituição com sec 2 ⁡ θ - 1 . Veja:

Façamos:

x 3 = sec ⁡ θ

Um esquema no triangulo retângulo é:

Derivando:

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

PS: Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final

Assim a nossa integral fica:

∫ 3 sec ⁡ θ 3   sec 2 ⁡ θ - 1   3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ  

Tirando os termos que se cortam:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ - 1   tan ⁡ θ   d θ  

Como já dito antes, sabemos que sec 2 ⁡ θ - 1 = tan ⁡ θ . Assim:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ   tan ⁡ θ   d θ   = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ     d θ  

A integral de sec 2 ⁡ θ é tan ⁡ θ , isto é:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ = 3 tan ⁡ θ + C

Não podemos esquecer da bendita constante

Passo 3

Lembra da substituição que fizemos:

x 3 = sec ⁡ θ → θ = arcsec ⁡ x 3

Assim:

3 tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

Resumindo:

  ∫ x x 2 - 3     d x = 3 tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ x x 2 - 3     d x = 3 tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x