1.7. Use uma substituição trigonométrica para calcular ∫ c o s 2 x d x . Dica: represente c o s 2 ( x ) como uma função envolvendo c o s 2 x a partir da fórmula de prostaférese para calcular c o s 2 x e da identidade trigonométrica fundamental.

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = c o s 2 x a partir de alguma substituição trigonométrica envolvendo o cos ⁡ 2 x .

E aí, que substituição é essa? 🤔

Essa substituição que é mencionada é dada por

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim, como temos uma função composta no cos ⁡ 2 x , podemos aplicar o método da substituição para obter essa integral.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A integral é dada por

∫ c o s 2 x d x

Aplicando a identidade trigonométrica...

∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

Como a integral possui propriedades lineares, então podemos dizer que

∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ 1 2 d x + ∫ cos ⁡ 2 x 2 d x

Na integral de uma constante, o resultado é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 1 2 d x = 1 2 x + C

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Na integral de cos ⁡ 2 x 2 , vamos substituir u = 2 x e, portanto

d u d x = d 2 x d x = 2

Isolando d x , temos

d x = 1 2 d u

Substituindo 2 x e d x na integral, vamos obter

∫ cos ⁡ 2 x 2 d x → ∫ cos ⁡ u 2 1 2 d u

∫ cos ⁡ u 4 d u = 1 4 ∫ cos ⁡ u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ u é dada por

1 4 ∫ cos ⁡ u d u = 1 4 s e n u

E como u = 2 x , temos

∫ cos ⁡ 2 x 2 d x = s e n 2 x 4 + C

Juntando as duas integrais...

∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 2 x + C + s e n 2 x 4 + C

∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = x 2 + s e n 2 x 4 + C

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = x 2 + s e n 2 x 4 + C

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