Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

O valor de

∫ 0 3 2 x 1 - x 2 d x

é:

  1. 1 / 4
  2. 1 / 2
  3. 3 / 2
  4. - 1 / 2
  5. 2 / 2

Passo 1

Apareceu 1 - x 2   ?? Não tenha dúvidas que vamos de substituição trigonométrica:

x = sen ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

Daí temos que

1 - x 2 = 1 - sen 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ

Adaptando os limites de integração à nossa substituição:

x = 0 → sen ⁡ θ = 0 → θ = 0

x = 3 2 → sen ⁡ θ = 3 2 → θ = π 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Utilizando isso tudo a integral vai ficar:

∫ 0 3 2 x 1 - x 2 d x = ∫ 0 π 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 3 sen ⁡ θ d θ

O que vai dar:

- cos ⁡ θ 0 π 3 = - cos ⁡ π 3 + cos ⁡ 0 = - 1 2 + 1 = 1 2

Pronto, acabou! Substituição trigonométrica salva vidas ;)

Resposta

Letra (b)

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