Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

USP - Cálculo 1 - P3 2010 - 1 a

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a ∫ x 5 3 + x 2 d x

Passo 1

O primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para conseguir resolver ou que aparentemente pode nos levar à solução de forma mais fácil.

Tá, essa raiz quadrada com x 2 somado a constante é um indicador direto do método da Substituição Trigonométrica, você concorda.

Na Substituição Trigonométrica poderemos encontrar 3 casos:

a 2 + x 2

a 2 - x 2

- a 2 + x 2

Quando você cai num método de integração dividido em casos, o próximo passo é identificar de qual caso se trata para, a partir daí, direcionar a forma de resolver.

E qual dos três casos vamos usar? Temos uma expressão do tipo a 2 + x 2 , onde a 2 seria igual a 3.

Então, a substituição que devemos fazer nesse caso é: x = a ⋅ tg ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos partir para a resolução propriamente dita. Já identificamos qual caso usar. O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d x e substituir na integral.

Temos 3 + x 2 , onde a 2 = 3   ∴ a = 3

Portanto, a substituição que devemos fazer será:

a = 3 →   x = 3 tg ⁡ θ

Derivando x , encontramos o d x :

d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora, vamos substituir na integral:

∫ x 5 3 + x 2 d x = ∫ 3 tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg ⁡ θ 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos tirar de dentro da integral tudo o que for constante.

= 3 5 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Na raiz quadrada do denominador, a gente pode colocar o 3 em evidência para depois utilizar uma identidade trigométrica para simplificar a integral.

= 3 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 ( 1 + tg 2 ⁡ θ ) sec 2 ⁡ θ d θ

Agora sim, fica mais de identificar a identidade trigonométrica sec 2 ⁡ θ = 1 + tg 2 ⁡ θ e fazer a substituição.

= 27 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 27 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ tg ⁡ θ 5 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Bom, depois de substituir tudo e simplificar o máximo possível, devemos resolver a integral em θ . E para resolver essa integral aqui? #Como faz?

Sabemos que se trata de uma integral trigonométrica. Essa integral trigonométrica envolve tangente e secante, sendo o expoente da tangente ímpar. Nessa situação, a gente guarda um tg ⁡ θ . sec ⁡ θ , que é derivada da secante, e abre o resto das tangentes em secantes:

9 3 ∫ tg ⁡ θ 4 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ 1 - 2 sec 2 ⁡ θ + sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Fazendo a seguinte substituição simples:

u = sec ⁡ θ → d u = tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Vai ficar:

9 3 ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u = 9 3 u - 2 u 3 3 + u 5 5

= 9 3 sec ⁡ θ - 2 sec ⁡ θ 3 3 + sec ⁡ θ 5 5

Passo 5

Bom, agora que já resolvemos a integral em θ . Agora temos que voltar para x . Então montamos aquele triângulo maroto para des-substituir o θ para x , lembrando que no caso da tangente, o triângulo fica com essa cara aqui, ó:

A partir dessa triângulo, tiramos todas as relações de que precisamos. Nesse caso, só precisamos de sec ⁡ θ

sec ⁡ θ = 1 c o s θ =   x 2 + 3 3

Substituindo isso no resultado em θ que havíamos encontrado e lembrando que é uma integral indefinida, portanto, não devemos esquecer a constante C , beleza? Se liga aí para não dar bobeira!

9 3 x 2 + 3 3 - 2 x 2 + 3 3 3 3 + x 2 + 3 3 5 5 + C

= 9 x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 3 + x 2 + 3 5 5 + C

Resposta

∫ x 5 3 + x 2 d x = 9 x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 3 + x 2 + 3 5 5 + C

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