Calcule as integrais:

g) ∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x

A primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou uma integração por partes, mas nenhuma delas vai ajudar a gente.

Repara que nós temos um denominador 16 - x 2 . Sempre que a gente tem algo desse tipo, nós podemos usar substituição trigonométrica.

Mas como é que a gente faz isso? No nosso caso, temos a 2 - x 2 , e o nosso a 2 é o 16 . Vamos considerar que esse a seja sempre um número positivo. Beleza, mas se a gente precisa fazer uma substituição trigonométrica, qual substituição a gente pode fazer?

Cada caso é um caso, e pra cada um a gente tem um tipo de substituição diferente, olha só:

Como o nosso caso é o terceiro, a gente pode usar x = a sin ⁡ θ ou x = a cos ⁡ θ . Vamos escolher x = a sin ⁡ θ , como nosso a 2 = 16 → a = 4 e temos:

x = 4 sin ⁡ θ

Agora achamos o d x , derivando o x :

d x = 4 cos ⁡ θ d θ

E substituímos na integral. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos olhar a substituição só na nossa raiz:

16 - x 2 → 16 - 4 sin ⁡ θ 2

= 16 - 16 sin 2 ⁡ θ = 16 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) = 4 1 - sin 2 ⁡ θ

Nós sabemos que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , então:

1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ

Substituindo na raiz:

4 cos 2 ⁡ θ = 4 cos ⁡ θ

Reparou que sumiu a raiz, né? Esse tipo de integração serve justamente pra tirar essa raiz, então fica atento a isso.

Antes de substituir tudo na integral, note que a nossa integral é definida. Então, precisamos arrumar também os limites de integração e ver o que acontece quando x = 0 e quando x = 2 3 .

Quando x = 0 , da nossa substituição x = 4 sin ⁡ θ isolamos θ e temos:

θ = sin - 1 ⁡ x 4 →     θ = sin - 1 ⁡ 0 = 0

Agora quando x = 2 3 , temos:

θ = sin - 1 ⁡ x 4 →     θ = sin - 1 ⁡ 2 3 4 = sin - 1 ⁡ 3 2 = π 3

Agora podemos arrumar tudo na integral.

Passo 3

Da nossa integral:

∫ 0 2 3 x 3 16 - x 2 d x

Temos:

∫ 0 π 3 4 sin ⁡ θ 3 4 cos ⁡ θ 4 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 3 4 3 sin 3 ⁡ θ d θ

Colocando a constante do lado de fora da integral:

= 64 ∫ 0 π 3 sin 3 ⁡ θ d θ

Agora ficou mais de resolver do que aquela integral original, né? A gente só tem que manipular esse sin 3 ⁡ θ um pouquinho.

Passo 4

Nós podemos escrever sin 3 ⁡ θ = sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ . Assim,

64 ∫ 0 π 3 sin 3 ⁡ θ d θ = 64 ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Vamos nos lembrar de novo da identidade trigonométrica, sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , só que agora vamos isolar sin 2 ⁡ θ :

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Substituindo isso na integral:

64 ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ 1 - cos 2 ⁡ θ d θ

Multiplicando sin ⁡ θ por todo mundo nos parênteses:

64 ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ - sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Podemos separar isso em duas integrais, por integral da subtração é a subtração das integrais (lembra dessa propriedade?):

64 ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ d θ - ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

A integral do sin ⁡ θ a gente sabe que é - cos ⁡ θ . E a integral de sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ? A gente pode resolver ela separadamente, usando uma substituição:

u = cos ⁡ θ

Achando d u , derivando:

d u = - sin ⁡ θ   d θ

Percebe que é justamente o termo que tá ali dentro da integral? Então, vamos substituir colocando o sinal negativo do lado de fora:

∫ 0 π 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = - ∫ 0 π 3 u 2 d u = - u 3 3 0 π 3

Voltando à nossa variável θ , que nós tínhamos substituído:

∫ 0 π 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = - ( cos ⁡ θ ) 3 3 0 π 3

Agora, colocando tudo lá na nossa integral original, temos:

64 ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ d θ - ∫ 0 π 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 64 - cos ⁡ θ 0 π 3 + cos 3 ⁡ θ 3 0 π 3

Aplicando os limites de integração:

64 - cos ⁡ π 3 + cos ⁡ 0 + cos 3 ⁡ π 3 3 - cos 3 ⁡ 0 3

= 64 - 1 2 + 1 + 1 2 3 3 - 1 3

Resolvendo dentro dos parênteses, temos:

= 64 1 2 + 1 8 ∙ 1 3 - 1 3 = 64 1 2 + 1 24 - 1 3

64 12 + 1 -     8 24 = 64 5 24 = 320 24

Simplificando a fração por 8 , temos:

= 40 3

Uffa! Encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

40 3

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x