Calcule as seguintes integrais:

b) ∫ 1 - 4 x 2   d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Por exemplo, se a integral é do tipo 1 + x 2 , podemos substituir o x pra levarmos até 1 + tan 2 ⁡ θ e obter sec 2 ⁡ θ .

Se isso te ajudou, carinha, vamos resolver essa questão juntos. Nada melhor que um exemplo, e vai ver como o resultado sai fácil fácil..

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos:

∫ 1 - 4 x 2   d x

Como mostrado antes, a melhor substituição pra essa integral é uma que ao final temos que obter cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ . Assim, façamos:

2 x = sin ⁡ θ

De forma que:

d x = cos ⁡ θ 2     d θ

Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final.

Assim, temos ao final:

∫ 1 - 2 x 2   d x = ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ   cos ⁡ θ 2     d θ

Mas 1 - sin 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ . Assim:

∫ 1 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 . Assim:

∫ 1 2 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

Fatorando o 1 2 :

∫ 1 4 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ

Passo 3

Assim, sabendo que a integral da soma é a soma das integrais:

∫ 1 4   d θ + ∫ 1 4 cos ⁡ 2 θ   d θ

Integrando:

θ 4 + 1 8 sin ⁡ 2 θ + C

Lembra daquela substituição que fizemos, vamos relembrá-la?

2 x = sin ⁡ θ → θ = arcsin ⁡ 2 x

Assim, substituindo θ na equação:

arcsin ⁡ 2 x 4 + 1 8 sin ⁡ 2 arcsin ⁡ 2 x + C

Não podemos esquecer da bendita constante

Resumindo:

∫ 1 - 4 x 2   d x

Aplicando substituição trigonométrica

∫ 1 - 4 x 2   d x = arcsin ⁡ 2 x 4 + 1 8 sin ⁡ 2 arcsin ⁡ 2 x + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ 1 - 4 x 2   d x = arcsin ⁡ 2 x 4 + 1 8 sin ⁡ 2 arcsin ⁡ 2 x + C

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x