Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

17. Verifique se os resultados abaixo são verdadeiros, justificando sua resposta.

(b) lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 2 x 2 + y = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que verificar se o limite dado é verdadeiro ou não.

Nesse caso, o limite que temos que verificar é lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 2 x 2 + y = 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra verificar o resultado do limite vamos calcular o limite da função f x , y para P 0 .

Nesse caso, já adianto que podemos apenas aplicar uma simplificação na função já que se aplicarmos o ponto P 0 íamos cair em uma indeterminação 0 / 0 ...

Parece complicado? Bora começar! 😬

Passo 2

A função f x , y é dada por

f x , y = x 4 - y 2 x 2 + y

Perceba que podemos manipular x 4 - y 2 escrevendo como um produto...

x 4 - y 2 = x 2 + y x 2 - y

Substituindo em f x , y ...

f x , y = x 2 + y x 2 - y x 2 + y

Simplificando...

f x , y = x 2 - y

Calculando o limite de f x , y a partir da sua forma simplificada, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y = 0 2 - 0 = 0

Portanto vemos que a igualdade foi satisfeita!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 2 x 2 + y = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
Usando a definição de limite, mostrar que:underset([[x - - 1],[y - 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9
Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu