Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

17. Verifique se os resultados abaixo são verdadeiros, justificando sua resposta.

(a) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - 2 x y + y 2 x - y = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que verificar se o limite dado é verdadeiro ou não.

Nesse caso, o limite que temos que verificar é lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - 2 x y + y 2 x - y = 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra verificar o resultado do limite vamos calcular o limite da função f x , y para P 0 .

Nesse caso, já adianto que podemos apenas aplicar uma simplificação na função já que se aplicarmos o ponto P 0 íamos cair em uma indeterminação 0 / 0 ...

Parece complicado? Bora começar! 😬

Passo 2

A função f x , y é dada por

f x , y = x 2 - 2 x y + y 2 x - y

Perceba que podemos manipular x 2 - 2 x y + y 2 escrevendo de forma quadrática...

x 2 - 2 x y + y 2 = x - y 2

Substituindo em f x , y ...

f x , y = x - y 2 x - y

Simplificando...

f x , y = x - y

Calculando o limite de f x , y a partir da sua forma simplificada, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x - y = 0 - 0 = 0

Portanto vemos que a igualdade foi satisfeita!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - 2 x y + y 2 x - y = 0

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