Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

17. Verifique se os resultados abaixo são verdadeiros, justificando sua resposta.

(c) lim x , y → 0 , 1 ⁡ x + y - 1 x + y - 1 = 2

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que verificar se o limite dado é verdadeiro ou não.

Nesse caso, o limite que temos que verificar é lim x , y → 0,1 ⁡ x + y - 1 x + y - 1 = 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Pra verificar o resultado do limite vamos calcular o limite da função f x , y para P 0 .

Nesse caso, já adianto que podemos apenas aplicar uma simplificação na função já que se aplicarmos o ponto P 0 íamos cair em uma indeterminação 0 / 0 ...

Parece complicado? Bora começar! 😬

Passo 2

A função f x , y é dada por

f x , y = x + y - 1 x + y - 1

Para simplificar a função f , podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, ou seja

f x , y = x + y - 1 x + y - 1 · x + y + 1 x + y + 1

f x , y = x + y · x + y - x + y + x + y - 1 x + y + 1 x + y - 1

Simplificando...

f x , y = x + y - 1 x + y + 1 x + y - 1

f x , y = 1 x + y + 1

Calculando o limite de f x , y a partir da sua forma simplificada, temos

lim x , y → 0 , 1 ⁡ 1 x + y + 1 = 1 0 + 1 + 1 = 1 2

Portanto vemos que a igualdade não foi satisfeita!

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x , y → 0,1 ⁡ x + y - 1 x + y - 1 ≠ 2

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Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
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