Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

7. Mostre que lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x y não existe.

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos apenas que mostrar que lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x y não existe.

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Para mostrar que o limite dessa função não existe, temos que provar que de alguma forma quando x , y tende a 0,0 podemos obter dois valores diferentes.

Para fazer isso podemos fazer aproximações por curvas que passam no ponto que estamos interessados, assim, definimos uma variável em função de outra.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Podemos começar nos aproximando pela curva x = y , ou seja

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x y → lim x → 0 ⁡ x 2 + x 2 x x

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 x 2

lim x → 0 ⁡ 2 = 2

Porém se nos aproximarmos por y = - x temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 x y → lim x → 0 ⁡ x 2 + ( - x ) 2 x - x

lim x → 0 ⁡ - x 2 + x 2 x 2

lim x → 0 ⁡ - 2 x 2 x 2

lim x → 0 ⁡ - 2 = - 2

Portanto, como encontramos dois resultados distintos, podemos afirmar que o limite diverge.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Diverge.

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