Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.

  1. l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 4 x ² y x ⁴ + 5 y ²

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para determinar o limite da expressão dada caso ele exista. No caso de uma função de uma única variável, o cálculo de um limite é feito de maneira relativamente simples, afinal de contas, só podemos nos aproximar de um valor de x pela sua esquerda ou pela direita.

Mas no caso de uma função de duas variáveis, de quantas formas podemos nos aproximar de um ponto pelo plano? Infinitas! Então, para que o limite de uma função de duas variáveis exista, precisamos que ele seja o mesmo para qualquer que seja o caminho escolhido. Então bora ver se isso ocorre para a função dada!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar da origem através de uma reta arbitrária que passe pela origem, escrita como

y   =   a x

Fazendo isso, podemos substituir y na função e verificar o que ocorre quando x (e consequentemente, y também) vai à zero. Assim, escrevemos

f ( x , y ) = f ( x , a x ) = 4 x ² y x ⁴ + 5 y ² = 4 x ² ( a x ) x ⁴ + 5 ( a x ) ² = 4 a x ³ x ⁴ + 5 a ² x ² = 4 a x x ² + 5 a ²

Como a ≠ 0 , temos que, conforme x se aproxima de zero, a expressão vai à zero, pois o numerador de anula e o denominador não. Agora, vamos tentar nos aproximar da origem por uma curva diferente: uma parábola!

Passo 3

Se nos aproximarmos da origem pela curva y = x², podemos reescrever a função f(x,y) como

f ( x , y ) = f ( x , x ² ) = 4 x ² y x ⁴ + 5 y ² = 4 x ² ( x ² ) x ⁴ + 5 ( x ² ) ² = 4 x ⁴ x ⁴ + 5 x ⁴ = 4 1 + 5 = 4 6

Então, vemos que, se nos aproximarmos da origem pela parábola y = x², temos que a função tende à 2 3 que, obviamente, é diferente de zero (limite obtido quando nos aproximamos por uma reta). Portanto, concluímos que, para caminhos diferentes, obtemos limites diferente e, então, a função não possui um limite quando ( x , y ) → ( 0,0 ) .

Resposta

O limite não existe.

Exercícios de Livros Relacionados

Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x - x_0],[y - y_0]])(lim) y = y_0 .
Usando a definição de limite, mostre que:e) underset([[x - 0],[y - 0]])(lim) (x y^3)/(x^2 + y^2) = 0
Usando a definição de limite, mostrar que:underset([[x - - 1],[y - 2]])(lim) (5 x - 2 y) = - 9
Usando a definição de limite, mostrar que:underset((x , y) - ( 2,3 ))(lim) (3 x + 2 y) = 12
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.(b) A altura acima do nível do mar como função da longitude, da latitu