Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.

b) l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 7 y x ⁴ x ⁴ + 2 y ⁴

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para determinar o limite da expressão dada caso ele exista. No caso de uma função de uma única variável, o cálculo de um limite é feito de maneira relativamente simples, afinal de contas, só podemos nos aproximar de um valor de x pela sua esquerda ou pela direita.

Mas no caso de uma função de duas variáveis, de quantas formas podemos nos aproximar de um ponto pelo plano? Infinitas! Então, para que o limite de uma função de duas variáveis exista, precisamos que ele seja o mesmo para qualquer que seja o caminho escolhido. Então bora ver se isso ocorre para a função dada!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar da origem através de uma reta arbitrária que passe pela origem, escrita como

y   =   a x

Fazendo isso, podemos substituir y na função e verificar o que ocorre quando x (e consequentemente, y também) vai à zero. Assim, escrevemos

f ( x , y ) = f ( x , a x ) = 7 x ⁴ y x ⁴ + 2 y ⁴ = 7 x ⁴ ( a x ) x ⁴ + 2 ( a x ) ⁴ = 7 a x ⁵ x ⁴ + 2 a ⁴ x ⁴ = 7 a x 1 + 2 a ²

Como a ≠ 0 , temos que, conforme x se aproxima de zero, a expressão vai à zero, pois o numerador se anula e o denominador não. Então, por essa curva, temos que o limite é zero. Agora, vamos tentar nos aproximar da origem por uma curva diferente: uma parábola!

Escolhendo uma curva com equação da forma

y = x ²

Podemos reescrever a função f(x,y) e verificar o que ocorre quando nos aproximamos de x = 0.

f ( x , y ) = f ( x , x ² ) = 7 x ⁴ y x ⁴ + 2 y ⁴ = 7 x ⁴ ( x ² ) x ⁴ + 2 ( x ² ) ⁴ = 7 x ⁶ x ⁴ + 2 x ⁸ = 7 x ² 1 + 2 x ⁴   ⇒ l i m x → 0 7 x ² 1 + 2 x ⁴ = 0

Novamente, temos que o limite quando nos aproximamos da origem é zero. Então, começamos a suspeitar que talvez o limite exista e que ele é igual a zero. No entanto, provar que por dois caminhos o limite existe, não significa que ele exista para qualquer caminho possível. Então bora tentar alguma outra forma de provar que o limite existe!

Passo 3

Para verificar se o limite existe, vamos considerar um ϵ > 0 . Procuramos um δ > 0 tal que, para pontos à uma distância menor que δ da origem, o módulo da função menos 0 seja sempre menor que ϵ . Então, queremos encontrar δ tal que

Se 0 < x ² + y ² < δ ,então 7 y x ⁴ x ⁴ + 2 y ⁴ - 0 < ϵ

Ou, alternativamente, como x⁴+2y⁴ e x⁴ são sempre positivos:

Se 0 < x ² + y ² < δ ,então 7 x ⁴ y x ⁴ + 2 y ⁴ < ϵ

Com x⁴ é sempre menor ou igual à x⁴+2y⁴, temos que a razão entre esses dois fatores é sempre menor ou igual à 1

x ⁴ x ⁴ + 2 y ⁴ ≤ 1

Então, se multiplicarmos 7 y por isso, no máximo obtemos 7 y , ou algo menor. Por outro lado, podemos escrever o módulo de y como y = y ² e, como isso é sempre menor ou igual à y ² + x ² temos

7 x ⁴ y x ⁴ + 2 y ⁴ ≤ 7 y = 7 y ² ≤ 7 x ² + y ²

Então, sabendo que x ² + y ² < δ , podemos escrever

7 x ⁴ y x ⁴ + 2 y ⁴ ≤ 7 x ² + y ² < 7 δ

Assim, se escolhermos então um δ = ϵ 7 temos que

7 x ⁴ y x ⁴ + 2 y ⁴ - 0 < 7 ϵ 7 = ϵ

Então para qualquer ϵ arbitrariamente pequeno, sempre encontramos um δ tal que, a função em qualquer ponto a uma distância menor que este δ , é sempre menor que ϵ . Então, quando (x,y) tende à (0,0), a função f(x,y) tende à zero.

Resposta

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) 7 y x ⁴ x ⁴ + 2 y ⁴ = 0

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