Exercícios Resolvidos de Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 945 - 28

Determine

lim x , y 0,1 a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2

Passo 1

Substituindo os valores de x e y :

lim x , y 0,1 a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = lim x , y 0,1 a r c t g 0 + 1 0 + 1 - 1 2

Repare que o termo dentro da arctangente tende pra + .

Ou seja, o limite que queremos é o número cuja “tangente é o infinito”, digamos assim.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra esse exercício é importante lembrar da cara do gráfico da função tangente:

Ele tem assíntotas verticais para x = π 2 + 2 π k ,     k N .

Por isso geralmente consideramos a função tangente no intervalo - π 2 , π 2 , onde ela é bem definida.

Podemos ver que

lim x π 2 - tg x = +

Assim, temos

" a r c t g + = π 2 "

Botei as aspas porque não dá pra tratar o infinito como se fosse um número!

Passo 3

Enfim, de fato se você pedir pra um computador traçar o gráfico da função arctangente ele te mostra isso:

Aliás, esse é um gráfico bom de se saber! :)

Resposta

lim x , y 0,1 a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = π 2

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