Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

a) ∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d x d y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral iterada usando as coordenadas polares. Então, vamos precisar das equações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Usando essas equações, vamos descobrir os nossos limites de integração em função de r e θ e transformar o nosso integrando.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar transformando o nosso integrando em coordenadas polares:

x 2 + y 2 3 / 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 3 / 2

= r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ 3 / 2

Usando a identidade cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

r 2 3 / 2 = r 2 3 = r 3

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha nos nossos limites de integração. Temos:

0 ≤ x ≤ a 2 - y 2

Como x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , vamos ter:

r cos ⁡ θ ≤ a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Elevando ambos os lados ao quadrado:

r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Agora vamos usar de novo a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , fazendo:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ a 2

r 2 ≤ a 2

r ≤ a

Então, já sabemos que o raio varia no intervalo:

0 ≤ r ≤ a

Agora repare que temos x = a 2 - y 2 , elevando os dois lados ao quadrado, vamos ter:

x 2 = a 2 - y 2

x 2 + y 2 = a 2

Então, temos uma circunferência de raio a e a nossa variável y varia de - a até a . Isso significa que o nosso ângulo variar de 0 até 2 π , ou seja:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 4

Agora vamos montar nossa integral com os resultados dos passos anteriores:

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 / 2 d x d y →   ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 3 ∙ r d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 4   d r d θ

Então, integrando primeiro em relação a r :

∫ 0 2 π r 5 5 0 a d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

∫ 0 2 π a 5 5 - 0 5 5 d θ

= ∫ 0 2 π a 5 5   d θ = a 5 5 ∫ 0 2 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

a 5 5 θ 0 2 π

E aplicando os limites de integração em θ :

a 5 5 2 π - 0

= 2 a 5 π 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 a 5 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}