7 - Usando coordenadas polares, calcule:

d) ∫ ∫ R x d x d y , onde R é a região limitada por x 2 + y 2 - 4 x = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Quando temos uma integral dupla, onde a região de integração é na forma circular ou elíptica, converter as coordenadas para polares nos ajuda muito já que muitas vezes é quase impossível obter o resultado e os intervalos de integração por meio das coordenadas cartesianas.

Mas como fazemos para converter uma integral para as coordenadas polares? 🤔

De forma bem direta, para fazer essa mudança, temos que fazer umas substituições. Primeiro com relação a função de integração f x , y , temos que muda-la para f r , θ . Pra isso, onde tem x , substituímos por r c o s θ e onde tem y por r s e n θ .

Também temos que mudar os limites de integração quando derivamos em relação a θ , temos que adotar os limites de integração para os valores de maior ângulo e de menor ângulo com relação ao semieixo positivo de x que fazem parte da região R .

E na integral com relação a r temos que adotar como limites de integração os valores de m

Passo 2

Primeiro vamos ver como é nossa região de integração. Manipulando a equação, podemos chegar em

x 2 + y 2 - 4 x = 0 → x - 2 2 + y 2 = 4

Com isso, temos a seguinte região

As perguntas que devemos fazer agora é: “Qual o maior e o menor ângulo θ que a região faz com a origem do sistema tendo como ângulo 0 o semieixo positivo de x ?”.

A outra pergunta é: “Como o raio da região varia com o ângulo θ ?”

Analisando a região, vemos que o maior e o menor ângulo que ela faz é π / 2 e - π / 2 respectivamente.

Podemos perceber que a variação do raio não é constante, conforme o ângulo muda, o raio também muda.

Se convertermos a equação que delimita R para polar, temos

r c o s θ 2 + r s e n θ 2 - 4 r c o s θ = 0

r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 4 r c o s θ

Como cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

r 2 = 4 r c o s θ

r = 4 c o s θ

Descobrimos que r varia de 4 c o s θ a 0 , então esses serão nossos limites de integração

Passo 3

Convertendo nossa função f x , y para f r , θ , temos

f r , θ = r c o s θ

Com isso, finalmente temos a integral

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 c o s θ r c o s θ r d r d θ → ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r d θ

Não se esqueça de acrescentar o jacobiano na integral.

Integrando com relação a r , aplicamos o método de integração polinomial onde dividimos a variável pela potência + 1 e somamos 1 no seu expoente

∫ r 2 c o s θ d r = r 2 + 1 2 + 1 c o s θ = r 3 3 c o s θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r = 4 c o s θ 3 3 c o s θ - 0 3 3 c o s θ

∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r = 64 3 cos 4 ⁡ θ

Agora derivamos esse resultado com relação a θ

∫ - π 2 π 2 64 3 cos 4 ⁡ θ d θ

Como 64 / 3 é uma constante pode sair da integral

64 3 ∫ - π 2 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Integrando cos 4 ⁡ θ pelo método de integração por partes, temos

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = ∫ cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Onde u = c o s 3 θ e d v = cos ⁡ θ

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = cos 3 ⁡ θ s e n θ - ∫ s e n θ - 3 c o s 2 θ s e n θ d θ

Com isso, temos que obter a integral

∫ - 3 c o s 2 θ s e n 2 θ d θ

Podemos reescrever essa integral como

- 3 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração, já a integral de cos ⁡ 4 θ é obtida pelo método de integração por substituição

- 3 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 θ d θ = - 3 8 θ - s e n 4 θ 4

Substituindo na integral de cos 4 ⁡ θ , temos

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = cos 3 ⁡ θ s e n θ - - 3 8 θ - s e n 4 θ 4

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = cos 3 ⁡ θ s e n θ + 3 8 θ - s e n 4 θ 4

Aplicando os limites de integração.

Para θ = π 2

cos 3 ⁡ π 2 s e n π 2 + 3 8 π 2 - s e n 4 π 2 4 = 3 π 16

Para θ = - π 2

cos 3 ⁡ - π 2 s e n - π 2 + 3 8 - π 2 - s e n 4 - π 2 4 = - 3 π 16

Um pouquinho trabalhoso, não é? 😅

Passo 5

Dessa forma, a integral com os limites de integração aplicados é

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r d θ = 64 3 ∫ - π 2 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ = 64 3 3 π 16 - - 3 π 16

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r d θ = 64 3 3 π 8

Simplificando o resultado, temos

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r d θ = 8 π

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 c o s θ r 2 c o s θ d r d θ = 8 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}