Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Mudança de variáveis

Considere D = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e I a integral dada por

I = ∬ D x y d x d y

  1. Usando coordenadas polares calcule I . Justifique.

Passo 1

d )

Vamos começar entendo como é a região D . Consegue perceber que temos duas circunferências?

x 2 + y 2 = 4

Essa tem raio 2 e centro em 0,0

x 2 + y 2 = 2

Essa tem raio 2 e centro em 0,0

A região D vai ser a região interna a circunferência maior e externa a circunferência menor, conseguimos ver isso pela desigualdade das equações. Além disso, vamos ter x ≥ 0 e y ≥ 0 , então estamos pegando a parte do 1 º quadrante. O seu gráfico vai ficar

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usando as coordenadas polares vamos ter

x = r   c o s   θ

y = r   s e n   θ

J = r

Passo 3

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os intervalos de integração. Como já vimos, A região D vai ser a parte entre os círculos, isso nos diz que r vai do raio de um círculo até outro, ou seja,

2 ≤ r ≤ 2

Além disso, como temos o círculo apenas no primeiro quadrante o θ vai variar

0 ≤ θ ≤ π 2

Então

D = r , θ 2 ≤ r ≤ 2 ; 0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:

I = ∬ D x y d x d y = ∬ D r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ r d r d θ = ∬ D r 3 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ d r

A integral vai ficar

I = ∫ 2 2 ∫ 0 π / 2 r 3 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ d r

Passo 5

Vamos resolver a integral

∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Pegamos sem o r 3 porque estamos considerando ele como uma constante, ou seja, basta multiplicar o resultado por ele depois.

Para isso basta fazermos

sen ⁡ θ = u

d u = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral

∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = ∫ u d u

∫ u d u = u 2 2 + C

Desubstituindo

u 2 2 + C = sen 2 ⁡ θ 2 + C

∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = sen 2 ⁡ θ 2 + C

Vamos ignorar essa constante porque temos a integral definida.

Passo 6

Voltando para

I = ∫ 2 2 ∫ 0 π / 2 r 3 cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ d r = ∫ 2 2 r 3 sen 2 ⁡ θ 2 θ = 0 π / 2 d r

= ∫ 2 2 r 3 sen 2 ⁡ π 2 2 - sen 2 ⁡ 0 2 d r = ∫ 2 2 r 3 2 d r = r 4 2 4 r = 2 2 = r 4 8 r = 2 2

I = 2 4 8 - 2 4 8 = 16 - 4 8 = 12 8 = 3 2

Resposta

I = 3 2

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