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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Calcule a seguinte integral:

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - x 2 1 x 2 + y 2 3 / 2 d y d x

Passo 1

Bom, não dá pra integrar isso aí de cara, não é? Temos que mexer em alguma coisa nessa integral.

Os termos quadráticos no denominador da integral são um indicativo de coordenadas polares podem ser uma boa.

Vamos fazer, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

J = r

Passo 2

Vamos ver que região é essa aí, então.Temos 0 ≤ y ≤ 2 x - x 2 , ou seja, y varia desde 0 até a parte positiva da equação:

y 2 = 2 x - x 2

x 2 + y 2 - 2 x = 0

Completando esse quadrado, temos:

x - 1 2 + y 2 = 1

Essa é uma circunferência centrada em ( 1,0 ) . Podemos ver, também, que x varia desde 1 até 2 . Juntando essas informações, podemos esboçar a seguinte região:

Pela figura, vemos que r varia desde a reta x = 1 até a circunferência, que, em coordenadas polares, será:

( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r   s e n   θ ) 2 - 2 r cos ⁡ θ = 0

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Para a reta, temos:

r cos ⁡ θ = 1

r = 1 cos ⁡ θ

Logo, 1 / cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ . Podemos ver, pelo esboço do gráfico indicando a região de integração, que 0 ≤ θ ≤ π / 4 . Então, podemos escrever a região como:

D = r , θ 0 ≤ θ ≤ π 4 ; 1 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

A integral passa a ser, então:

∫ 0 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 3 / 2 r d r d θ =

= ∫ 0 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 r 2 d r d θ =

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a r :

= - ∫ 0 π / 4 1 r 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ =

= - ∫ 0 π 4 1 2 c o s θ - cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π / 4 cos ⁡ θ - 1 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π / 4 cos ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ d θ =

Passo 4

Agora em relação a θ :

= s e n   θ - 1 2 ln ⁡ | t g   θ + sec ⁡ θ | 0 π / 4 =

= 2 2 - 1 2 ( ln ⁡ 1 + 2 - l n ⁡ | 0 + 1 | ) =

= 2 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + 2 - ln ⁡ 1 =

E como o ln ⁡ 1 = 0 , teremos finalmente:

= 2 2 - 1 2 ( l n ⁡ ( 1 + 2 )

Resposta

2 2 - 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 )

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