2. Resolva as integrais duplas utilizando coordenadas polares:

a) ∫ ∫ D cos ⁡ x 2 + y 2 d y d x em que D é a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 que está no primeiro quadrante e acima da reta y = x .

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a integral dupla usando coordenadas polares, que é a mudança de variáveis:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E temos o Jacobiano:

J = r

E a integral dupla fica:

∫ ∫ J   f r , θ d r d θ

Passo 2

Vamos desenhar a região D :

Então temos que r vaia de 0 até 1 e, como é somente no primeiro quadrante e acima da reta, então θ varia de π 4 até π 2 .

Montando a integral dupla:

∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 d r d θ = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ r 2 d r d θ

Passo 3

Usando substituição simples, podemos resolver a integral de dentro:

u = r 2

d u = 2 r   d r

Os limites ficam:

r = 0 → u = 0

r = 1 → u = 1

Então:

∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ r 2 d r d θ = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 cos ⁡ u d u 2 d θ

= ∫ π 4 π 2 sen ⁡ u 2 0 1 d θ

= ∫ π 4 π 2 sen ⁡ 1 2 d θ

= θ sen ⁡ 1 2 π 4 π 2

= π sen ⁡ 1 8

Resposta

π sen ⁡ 1 8

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}