8 - Uma região R é mostrada em cada um dos gráficos da figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva os limites de integração da integral iterada ∫ ∫ R f x , y d A , onde f é uma função arbitrária qualquer contínua em R.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que identificar qual é o melhor método de integração, entre coordenadas polares e coordenadas retangulares, para cada uma das seis regiões de integração que foram dadas e montar as integrais.

Nem sempre será explicito qual dos dois métodos devemos usar, estão é importante praticarmos nosso feeling de ver a região e já estar preparando o melhor método para resolução.

Então você pode pensar: “eu fiz questões de integrais em coordenadas polares, mas não percebi a diferença entre o momento de usar coordenadas retangulares ou polares”.

Relaxa, a princípio é um pouco confuso. A melhor dica que podemos seguir é: sempre que tivermos uma região de integração no formato circular, oval, semicírculo, semielíptica ou de anel, temos que usar coordenadas polares para resolver a integral.

Já se tivermos uma região de qualquer outro tipo, por exemplo, triangular, quadrada, trapezoidal... temos que usar coordenadas retangulares.

Entendeu? Vamos para os exemplos que vai ficar mais claro. 😉

Passo 2

Na primeira figura, temos um círculo de raio 2

Acabamos de dizer que quando temos um círculo, temos que usar coordenadas polares.

Identificamos o método que vamos usar, mas e pra montar a integral, como fazemos?

Nossa integral é do tipo

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x f r , θ d r d θ

Resta a gente identificar os valores para os limites de integração em r e θ . Como descrito na integral, os valores dos limites em d r é dado pela variação do raio do círculo. Já θ é o ângulo que nossa região faz com a origem tendo como o ângulo 0 , o semieixo positivo de x .

Com essas afirmações, podemos tirar que

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

Com isso, nossa integral é

∫ 0 2 π ∫ 0 2 f r , θ d r d θ

Agora vamos analisar a região 2

Temos que observar se tem alguma coisa que se parece com algo redondo.

Não né? Temos um triângulo, então temos que usar coordenadas retangulares.

Nesse caso os limites de integração são dados como o primeiro por curvas e o segundo por constantes. Por exemplo, se formos fazer d x d y , primeiro vamos observar as curvas que limitam os valores na horizontal.

Partindo do maior para o menor, vemos que partimos da reta x = - y + 2 e paramos em x = 0 . Já com relação ao eixo y , temos que partir de duas constantes, no caso do maior valor que é 2 para o menor valor que é 0 .

Se quisermos obter d y d x fazemos a mesma coisa só que escrevendo a reta como y = - x + 2

Dessa forma, os limites de integração para essa região é

∫ 0 2 ∫ 0 2 - y f x , y d x d y   ou ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x f x , y d y d x

Tranquilo? 👀

Passo 3

Analisando a região 3 , temos

Vemos que a semelhança com a região anterior é muito grande, então vamos usar coordenadas retangulares também.

Porém os limites de integração são diferentes já que a região varia entre curvas diferentes.

Se formos calcular d x d y , vamos analisar a variação na horizontal. Podemos perceber que nossa região está variando entre a reta x = y e x = - 2 .

Já na vertical, a região varia entre 2 e - 2 , aqui não precisamos considerar a curva x = y pois já consideramos ela em d x .

Dessa forma, nossa integral será

∫ - 2 2 ∫ y - 2 f x , y d x d y   ou ∫ - 2 2 ∫ x 2 f x , y d y d x

Para a região 4 , temos

Neste caso, temos um semianel, ou seja, temos que aplicar coordenadas polares para calcular sua integral.

Como vimos antes, a integral polar tem a cara dessa forma

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x f r , θ d r d θ

Com isso, podemos obter os limites de integração sem muitos problemas. Vemos que o raio está variando de forma constante para todo seu θ entre 1 e 3 . Já seu θ varia entre 0 (semieixo positivo de x até π / 2 .

Com isso, nossa integral será

∫ 0 π 2 ∫ 1 3 f r , θ d r d θ

Interessante, não é? 😁

Passo 4

Analisando a região 5 , temos

Na região anterior tínhamos um semianel, agora temos um anel completo, então vamos usar coordenadas polares novamente.

A integral de coordenadas polares é

∫ θ M i n θ M a x ∫ r M i n r M a x f r , θ d r d θ

Observando os dados que temos da região, vemos que seu raio varia entre 2 e 5 e seu ângulo entre 0 e 2 π , já que ele faz uma volta completa na origem do sistema.

Com isso, nossa integral será

∫ 0 2 π ∫ 2 5 f r , θ d r d θ

Por fim, analisando a região 6 , temos

Para quem está com fome, temos um pastel, mas para quem não está, temos um semicírculo inclinado e centrado na origem.

Assim como os anteriores, vamos aplicar coordenadas polares.

Podemos ver que o raio varia entre 0 e 2 e o ângulo entre π / 4 e 5 π / 4 já que o ângulo 0 está sob o semieixo positivo de x .

Ou seja, nossa integral é

∫ π 4 5 π 4 ∫ 0 2 f r , θ d r d θ

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

1 - ∫ 0 2 π ∫ 0 2 f r , θ d r d θ

2 - ∫ 0 2 ∫ 0 2 - y f x , y d x d y ou ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x f x , y d y d x

3 - ∫ - 2 2 ∫ y - 2 f x , y d x d y ou ∫ - 2 2 ∫ x 2 f x , y d y d x

4 - ∫ 0 π 2 ∫ 1 3 f r , θ d r d θ

5 - ∫ 0 2 π ∫ 2 5 f r , θ d r d θ

6 - ∫ π 4 5 π 4 ∫ 0 2 f r , θ d r d θ

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}