Calcule a seguinte integral

∬ D e - x 2 - y 2 d A

Em que D é a região do plano limitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∬ D e - x 2 - y 2 d A = ∬ D e - x 2 + y 2 d A

E pediu para calcular essa integral e aqui nós vamos usar coordenadas polares (viu aquele x 2 + y 2 e a região é circular, é batata! Polares!). E agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando a região dada temos

x 2 + y 2 = 4

x = 0  

E esboçando essa região, temos isso aqui

Percebemos que a região é um setor circular! Os limites em r vão de 0 até 2 (equação do círculo de raio 2 ) e em θ de - π 2 até π 2

Lembrando que o diferencial de área em polares é

d A = r   d r   d θ

Agora é só trocar o integrando para coordenadas polares e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∬ D e - x 2 + y 2 d A

Já temos os limites de integração em polares

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Agora falta nosso integrando! A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é

x = r c o s   θ

y = r   s e n θ

Aí nosso integrando fica

x 2 + y 2 = r 2 s e n 2 θ + r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2

Bora montar essa integral!

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 r   d r   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 2 e - r 2 r   d r   d θ

Integrando em r e substituindo os limites de integração:

u = -   r 2 → d u = - 2 r   d r

Quando r = 0 ,   u = 0 , quando r = 2 ,   u = - 4 :

∫ - π 2 π 2 - e u 2 0 - 4 d θ = - 1 2 ∫ - π 2 π 2 e - 4 - 1 d θ

Tranquilo? Agora vamos resolver essa integral em θ !

Assim temos

- 1 2 ∫ - π 2 π 2 e - 4 - 1 d θ = 1 2 1 - e - 4 ∫ - π 2 π 2 d θ

= 1 2 1 - e - 4   θ - π 2 π 2 = 1 - e - 4 2 . π 2 + π 2

Simplificando

= 1 - e - 4 2 π

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 - e - 4 2 π

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}