Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Calcule ∬ R   a r c t g ( y / x ) d A , em que R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 . Esboce a região R .

Passo 1

Vamos começar esboçando a região de integração, temos um círculo de raio 5 centrado na origem limitado ao primeiro quadrante:

Passo 2

Beleza, agora vamos escrever matematicamente essa região. Como temos um círculo, vamos usar coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

A região para a ser então 0 ≤ θ ≤ π / 2 (pois temos um quarto de volta trigonométrica) e 0 ≤ r ≤ 5 , pois o raio varia desde a origem até a circunferência de raio 5 .

Passo 3

Fazendo essa substituição na integral, temos:

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 5 a r c t g r   s e n   θ r cos ⁡ θ r   d r d θ =

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 5 a r c t g t g   θ r   d r d θ =

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 5 θ   r d r d θ =

Passo 4

Integrando em relação a r , temos:

= 1 2 ∫ 0 π / 2 θ r 2 0 5 d θ =

= 25 2 ∫ 0 π / 2 θ d θ =

Agora em relação a θ :

= 25 4 θ 2 0 π / 2 =

= 25 π 2 16 =

Resposta

25 π 2 16

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