Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

  1. Inverta a ordem de integração (Tipo I para tipo II) e calcule:
  2. ∫ 1 e ∫ 0 ln ⁡ x 1 e - e y d y d x

  3. Usando coordenadas polares calcule:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x

Passo 1

Temos aqui uma questão de integral dupla que nos pede para resolvê-la em duas etapas: primeiro, mudar o sistema de coordenadas para coordenadas polares, e segundo, resolver a integral propriamente dita.

Mudanças deste tipo ficam muito mais fáceis de serem realizadas se nós entendermos qual é a nossa região. Mudar a função de integração é fácil só fazer a seguinte mudança:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

Agora, mudar os limites de integração já é outro problema. Sendo assim, nosso primeiro passo é entender qual é a região de integração que estamos trabalhando.

De cara já sabemos que a nossa integral está montada no formato do tipo 1 (basta verificar que integramos primeiro em y e depois em x , só ver a ordem d y d x ).

Desta forma, como temos uma integral do tipo I, sabemos que a nossa região está limitada acima pela curva y = 1 - x 2 e abaixo pela reta y = - 1 - x 2 (limites de integração da integral mais interna).

Para fecharmos a nossa região, falta as suas laterais. Então, da integral mais externa, temos que ela é limitada a esquerda pela reta x = - 1 e limitada a direita pela reta x = 1 .

Ao fazermos esboço dessa região, teremos:

Passo 2

Agora que nós conseguimos visualizar a nossa região, fica muito mais fácil mudar a ordem de integração.

Como podemos ver, a região consiste em um círculo de raio 1 e centrada na origem O = 0,0 . Sendo assim, nossos limites devem englobar toda essa região do círculo.

Portanto, eles são: 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 1 .

Agora, se no lugar de x e y da nossa f x , y = 1 - x 2 - y 2 nós colocarmos a relação que escrevemos no Passo 1, x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , vamos obter:

1 - x 2 - y 2 = 1 - r cos ⁡ θ 2 - r sen ⁡ θ 2

1 - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sen 2 ⁡ θ = 1 - r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

1 - r 2

Portanto, a nossa integral será:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 ⋅ r d r d θ

Tomem muito cuidado na hora de mudar os limites para não esquecerem de mudar os diferenciais d y d x por r d r d θ viu!!!

Passo 3

Por fim, só nos resta resolvermos a nossa integral. Começando a integração pela variável r , temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 ⋅ r d r d θ

∫ 0 2 π - 1 - r 2 3 2 3 0 1 d θ = ∫ 0 2 π - 0 - 1 3 d θ = ∫ 0 2 π 1 3 d θ

OBS: não conseguiu resolver a integral em relação a r ? Não se assuste! Uma substituição simples resolve o seu problema. Se fizermos u = 1 - r 2 , teremos d u = - 2 r d r . Quando r = 0 , u = 1 . Já quando r = 1 , teremos u = 0 . Portanto, teríamos a seguinte integral.

∫ 0 2 π ∫ 1 0 - u 2 d u d θ

E agora fica mais fácil de resolver né? Podem checar que o resultado será o mesmo que obtivemos antes!

Mas, vamos continuar para finalizar a questão. A nossa última integral é:

∫ 0 2 π 1 3 d θ = 1 3 ⋅ θ 0 2 π = 2 π 3

E assim finalizamos a questão!

Resposta

∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 - y 2 d y d x = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 - r 2 ⋅ r d r d θ = 2 π 3

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