Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Origem do Exercício

Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y d x 1 + x 2 + y 2 2

Em seguida, calcule o seu valor.

  1. π / 4
  2. π
  3. π / 3
  4. π / 2
  5. π / 5

Passo 1

Vamos lembrar como convertemos as coordenadas cartesianas para polares:

x = r . c o s ⁡ ( θ )

y = r . sen ⁡ ( θ )

Então vamos reescrever a função que estamos integrando:

1 1 + x 2 + y 2 2 = 1 1 + r . cos ⁡ θ 2 + r . sen ⁡ θ 2 2

Lembrando que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , ficamos com:

1 1 + x 2 + y 2 2 = 1 1 + r 2 2

Beleza, convertemos a função.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O segundo passo é achar os novos limites de integração para r e para θ . Para isso, é uma boa esboçar a região de integração original.

Pela integral do enunciado, vemos que x varia no intervalo:

- 1 ≤ x ≤ 1

E para cada um desses valores de x , o y varia no seguinte intervalo:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Vamos desenhar isso no plano (é uma boa ideia lembrar que 1 - x 2 é a metade superior de um círculo, assim como - 1 - x 2 é a metade inferior, porque essa função aparece com muita frequência nessa matéria):

Olhando para essa imagem, fica muito mais fácil entender como o r e o θ variam!

Como temos um círculo de raio 1 :

0 ≤ r ≤ 1

E como estamos percorrendo toda a metade superior do círculo:

0 ≤ θ ≤ π

Passo 3

O terceiro passo é “converter” aqueles diferenciais d x   d y para coordenadas polares. Para isso precisamos usar o famoso “jacobiano”.

No caso das coordenadas polares, sabemos que:

d x   d y = r   d r   d θ

Agora já podemos substituir tudo na integral:

∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 d y d x 1 + x 2 + y 2 2 = ∫ 0 π ∫ 0 1 r   d r   d θ 1 + r 2 2

Passo 4

Ok, terminamos a conversão, agora precisamos calcular a nova integral.

∫ 0 π ∫ 0 1 r   d r   d θ 1 + r 2 2

Precisamos usar uma substituição simples:

u = 1 + r 2

d u d r = 2 r         ⇒           d r = d u 2 r

E com essa troca, precisamos calcular os novos limites de integração:

r = 0         ⇒         u = 1 + 0 2         ⇒           u = 1

r = 1       ⇒         u = 1 + 1 2         ⇒           u = 2

Então:

∫ 0 π ∫ 0 1 r 1 + r 2 2   d r   d θ = ∫ 0 π ∫ 1 2 r   u 2   d u 2 r   d θ

Podemos cortar o r e tirar a constante 1 / 2 de dentro da integral:

1 2   ∫ 0 π ∫ 1 2 1   u 2   d u   d θ

Passo 5

Agora já podemos integrar em relação a u , lembrando que:

∫ 1 u 2   d u = - 1 u

Então:

1 2   ∫ 0 π - 1 2 - - 1 1 d θ = 1 2   ∫ 0 π - 1 2 + 1 d θ

1 2   ∫ 0 π 1 2 d θ = 1 4 ∫ 0 π d θ

Agora é só integrar em relação ao θ :

1 4 π - 0 = π 4

Pronto!

Resposta

Letra (a).

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