6 – Calcular:

∬ R   d x d y

Em que R é a região delimitada por 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 .

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha por aí? Vamos resolver mais essa questão juntos? Vem comigo!

Bem, o problema pediu pra gente calcular essa integral, que é uma integral dupla

∬ R   d x d y

E disse que é pra gente fazer isso em R , que é a região delimitada por 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 .

Bom, o primeiro passo será entender que região é essa, e para isso nós teremos que desenhá-la. Então bora fazer isso.

Passo 2

Vamos começar desenhando

4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4

Perceba que essa é a equação de uma elipse, e pra fazer as informações importantes aparecerem, temos que dar uma mexida nela. Vamos dividir tudo por 4 , ficando com:

4 x - 3 2 4 + y - 2 2 4 = 4 4

Simplificando, teremos:

x - 3 2 1 + y - 2 2 4 = 1

Que pode ser escrita como:

x - 3 2 1 2 + y - 2 2 2 2 = 1

Que é uma elipse centrada em ( 3,2 ) e semieixos a = 1 e b = 2

Desenhando, teremos:

Xiii, temos um problema. Como podemos definir os limites de integração nessa região???

Bom, pra fazer isso nós vamos pensar o seguinte: do jeito que a elipse está, a gente não consegue integrar, então vamos fazer uma mudança de variáveis para transformar essa região em uma outra circunferência centrada na origem. Isso vai ajudar bastante a gente.

Bora fazer isso no próximo passo.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável usando nossa equação da circunferência

x - 3 2 1 2 + y - 2 2 2 2 = 1

Que pode ser visto como:

x - 3 1 2 + y - 2 2 2 = 1

Então chamaremos

u = x - 3

E

v = y - 2 2

Assim ficamos com:

u 2 + v 2 = 1

Que é uma circunferência centrada na origem

Ahhhh, tem um detalhe bem importante aqui: como estamos fazendo uma mudança de variável, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. Então precisamos fazer.

x = u + 1

Assim,

∂ x ∂ u = 1   e   ∂ x ∂ v = 0  

E

y = 2 v + 2

Assim,

∂ y ∂ u = 0   e   ∂ y ∂ v = 2

E o Jacobiano é dado por:

J = ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v = 1 0 0 2 = 2

Com isso, nossa integral que era

∬ R   d x d y

Se transforma em

∬ D   2 d u d v

Agora vamos nos concentrar em resolver essa integral.

Passo 4

Podemos passar a integral para coordenadas polares, onde

u = r cos ⁡ θ

v = r sen ⁡ θ

J = r

E as variações de r e θ podem ser vistas no gráfico como:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Transformando a integral em:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ

Caramba!!! Viu como todas essas manobras ajudaram a melhorar bastante a nossa integral?

Bora resolver, então.

Passo 5

Usando o Teorema de Fubini, vamos integral de dentro pra fora.

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r d r d θ

∫ 0 2 π 2 r 2 2 | 0 1 d θ

∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π

E prontinho. Integral resolvida.

Resposta

2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}