Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 181

Calcule ∬ D   l n ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Como nossa região de integração é limitada por duas circunferências, é uma boa usar coordenadas polares. Vamos definir:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é J = r .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar os intervalos de integração na figura abaixo:

Vemos que o raio r varia entre 1 e 2 e o ângulo θ entre 0 e π / 2 .

Perceba que o enunciado disse 1º quadrante!

Passo 3

Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a x e y :

∫ 1 2   ∫ 0 π 2 l n ⁡ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 r d θ d r = ∫ 1 2   ∫ 0 π 2 r ln ⁡ r 2 ⁡ d θ d r =

Esse r vem do Jacobiano!

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a θ :

= ∫ 1 2   r ln ⁡ r 2 θ θ = 0 θ = π / 2 d r =

= π 2 ∫ 1 2 r ln ⁡ r 2   d r =

Mas ln ⁡ r 2 = 2 ln ⁡ r . Então, no fim, fica:

= π 2 ∫ 1 2 2 r ln ⁡ r   d r

= π ∫ 1 2 r ln ⁡ r   d r

Passo 5

Agora vamos fazer a integração por partes, com;

ln ⁡ r = u e r = v '

O que nos dá:

u ' = 1 r e v = r 2 2

Substituindo esses valores em ∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

Temos:

∫ r ln ⁡ r d r = r 2 2 ln ⁡ r - ∫ 1 r × r 2 2 d r = r 2 2 ln ⁡ r - r 2 4

Então, o valor da nossa integral é:

= π r 2 2 ln ⁡ r - r 2 4 r = 1 r = 2 =

= π 4 2 ln ⁡ 2 - 4 4 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 4 =

= π 2 ln ⁡ 2 - 1 + 1 4 =

Resposta

π 2 ln ⁡ 2 - 3 4

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