Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Calcule a massa de uma lâmina delimitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 , se a densidade em um ponto é proporcional à distância desse ponto a 1,2 .

Passo 1

A gente sabe que a massa vai ser a integral dupla da densidade:

∬ D δ x , y d A

Mas ele não dá a densidade diretamente, vamos ter que encontrá-la. O enunciado diz que a densidade é proporcional a distância ao ponto 1,2 , que a gente calcula assim:

x - 1 2 + y - 2 2

Então a densidade fica:

δ x , y = k x - 1 2 + y - 2 2

Onde k é só uma constante de proporcionalidade.

E nossa integral fica:

∬ D k x - 1 2 + y - 2 2 d A

Passo 2

Agora temos que entender o domínio D . Temos uma circunferência centrada em 1,2 de raio 1 , então podemos tentar coordenadas polares deslocadas pra descrever a região, fazendo:

x = r cos ⁡ θ + 1

y = r sen ⁡ θ + 2

J = r

E assim, como temos uma circunferência, vamos ter simplesmente 0 ≤ θ ≤ 2 π , 0 ≤ r ≤ 1 .

E nossa integral fica:

k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r cos ⁡ θ + 1 - 1 2 + r sen ⁡ θ + 2 + 2 2   r   d r d θ  

Parece um pouco complicada, mas muita coisa vai simpleficar aí, vamos ver!

Passo 3

Vamos ter:

k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ r   d r d θ

⇒ k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2   r   d r d θ = k ∫ 0 2 π d θ   ∙   ∫ 0 1 r 2 d r

⇒ k   θ │ 0 2 π r 3 3 │ 0 1 = k   ∙ 2 π ∙ 1 3

⇒ 2 k π 3    

Resposta

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