Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

∫ 1 2 ∫ 0 x 1 x 2 + y 2 d y d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos pegar aqui a nossa integral:

∫ 1 2 ∫ 0 x 1 x 2 + y 2 d y d x

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos montar um esboço da nossa integral:

∫ 1 2 ∫ 0 x 1 x 2 + y 2 d y d x

Reparem que pela integral, temos que:

0 ≤ y ≤ x

1 ≤ x ≤ 2

Vamos ter algo parecido com:

Com isso, a gente já consegue começar a mudar as coordenadas. Começando por r :

x = 1 → r c o s θ = 1

r = 1 c o s θ = s e c ( θ )

x = 2 → r c o s θ = 2

r = 2 c o s θ = 2 s e c ( θ )

Agora vamos para θ :

0 ≤ y ≤ x

y = 0 → r s e n θ = 0 → θ = 0

y = x → r s e n θ = r c o s θ → tan ⁡ θ = 1 → θ = π 4

Por fim, vamos alterar a função dentro da integral:

1 x 2 + y 2 = 1 r c o s θ ² + r s e n θ 2

1 x 2 + y 2 = 1 r ² = 1 r

Logo, teremos:

∫ 1 2 ∫ 0 x 1 x 2 + y 2 d y d x = ∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) 1 r r d �� d r = ∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r d θ

Passo 3

Agora vamos resolver a nossa integral:

∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r = r sec ⁡ θ 2 s e c ⁡ ( θ )

∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r = s e c ⁡ ( θ )

Ficando agora

∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r d θ = ∫ 0 π 4 s e c ⁡ ( θ ) d θ

∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r d θ = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 0 π 4

∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r d θ = ln ⁡ tan ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4 - ln ⁡ tan ⁡ 0 + sec ⁡ 0

∫ 0 π 4 ∫ s e c ( θ ) 2 s e c ( θ ) d r d θ = ln ⁡ 1 + 2 2 - ln ⁡ 0 + 1 = ln ⁡ 2 + 1

Resposta

ln ⁡ 2 + 1

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