7 - Usando coordenadas polares, calcule:

f) ∫ ∫ R x - 1 2 + y - 2 2 d x d y , onde R é a região limitada por x - 1 2 + y - 2 2 = 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Quando estamos calculando integrais e nos deparamos com uma integral onde temos que calcula-la a partir de uma região de integração circular ou elíptica, o que temos que fazer é converter nossas coordenadas x e y para coordenadas polares.

Ok, mas como fazemos isso?? 🤔

Como nossa região de integração é circular, temos que trocar x por r c o s θ e y por r s e n θ . Dessa forma, vamos converter nossa função f x , y para f r , θ e ao invés de integrarmos d x d y , vamos integrar d r d θ onde r é a variação do raio e θ é a variação angular da região R com relação à origem do sistema.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos ver como é nossa região R .

Se o limite de R é x - 1 2 + y - 2 2 = 1 , então

Observando nossa função de integração vemos que estamos tratando de uma circunferência também centrada em 1,2 .

Se tentássemos encontrar o valor pra r , íamos chegar em algo mirabolante. Então usando nossa expertise de futuros engenheiros podemos pensar “e se transladássemos o centro da nossa origem?” assim, poderíamos calcular essa integral de uma maneira muito mais fácil.

Partindo dessa ideia, como o centro da nossa função f está em 1,2 , podemos dizer que x - 1 = r c o s θ e y - 2 = r s e n θ

Dessa forma que movemos o centro do nosso sistema para a posição 1,2 .

Agora continuamos os cálculos normalmente.

Vamos encontrar os limites de integração para r .

x - 1 2 + y - 2 2 = 1

r c o s θ 2 + r s e n θ 2 = 1

r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1

Como c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 , temos

r 2 = 1

r = 1

Com isso, descobrimos que os limites de integração em r é de 0 a 1 .

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Como nossa região é um círculo completo e transladamos nossa origem para seu centro, nossa variação em θ é de 0 a 2 π .

Agora temos que converter nossa função de integração, temos

f x , y = x - 1 2 + y - 2 2 → f r , θ = r c o s θ 2 + r s e n θ 2

Simplificando o resultado

f r , θ = r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ

f r , θ = r 2

f r , θ = r

Essa mudança não afeta nosso jacobiano, então nossa integral é dada por

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ

Agora temos uma integral que sabemos resolver, não é?

Integrando primeiramente com relação a r pelo método de integração polinomial onde dividimos a variável pela sua potência + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ r 2 d r = r 2 + 1 2 + 1 = r 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 r 2 d r = 1 3 3 - 0 3 3

∫ 0 1 r 2 d r = 1 3

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos integrar o resultado que obtemos em relação a θ .

∫ 0 2 π 1 3 d θ

Como nossa função de integração é uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 1 3 d θ = 1 3 θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π 1 3 d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ = 1 3 2 π - 1 3 0

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ = 2 π 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ = 2 π 3

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Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
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