Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 39

Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de:

- 1 1 0 1 - x 2 d y d x

  1. π / 2
  2. π
  3. 3
  4. π 2 + 3
  5. 1 / 2

Passo 1

Essa integral é bastante simples: só precisamos “converter” duas coisas (1) os limites de integração e (2) os diferenciais d y   d x .

Começamos pelos limites de integração. Os originais eram:

- 1 x 1

0 y 1 - x 2

Desenhar a região é sempre uma ótima ideia, quase sempre você consegue determinar os novos limites de integração só olhando o desenho.

É importante saber que a função 1 - x 2 dá a metade superior de uma circunferência de raio 1 ! A partir daí, os outros limites são constantes, e fica fácil fazer o desenho:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, olhando para o desenho, vamos definir os intervalos em que vamos integrar r e θ .

Como temos um círculo de raio 1 :

0 r 1

E como estamos integrando a metade superior do círculo:

0 θ π

Se estivéssemos integrando o círculo inteiro, por exemplo, θ teria que variar de 0 até 2 π .

Passo 3

Depois disso, precisamos lembrar do jacobiano para coordenadas polares, e então podemos converter os diferenciais:

d x   d y = r   d r   d θ

E agora já podemos substituir tudo na integral:

- 1 1 0 1 - x 2 d y d x = 0 π 0 1 r   d r   d θ

Ok, terminamos a conversão, agora vamos calcular a integral.

Passo 4

Primeiro integramos em relação a r , lembrando que:

r   d r = r 2 2 + C

Então:

0 π 0 1 r   d r   d θ = 0 π 1 2 2 - 0 2 2   d θ = 1 2 0 π d θ

Agora integramos em relação a θ , lembrando que:

d θ = θ + C

Então:

1 2 0 π d θ = 1 2 π - 0 = π 2

Resposta

Letra (a).

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