5 – Calcular:

∬ R   x   d x d y

Em que R é a região do primeiro quadrante delimitada por x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , x = y e y = 0 .

Passo 1

Falaaaaaa aí. Tudo certinho com você? Vem comigo resolver mais uma questão e garantir aquela aprovação de milhões.

E a primeira coisa que fazermos é entender direitinho esse enunciado aí.

Veja bem, essa questão pede pra gente calcular o valor dessa integral aqui:

∬ R   x   d x d y

Que parece até bonitinha, né. Mas ele fala pra gente calcular essa integral em uma região específica, e dá pra gente as relações que limitam essa região que ele chamou de região R .

Em que R é a região do primeiro quadrante delimitada por x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 1 , x = y e y = 0 .

Então, nós primeiro precisamos saber que região é essa, pra depois calcularmos de fato a integral, ok.

Vem comigo que eu te ajudo com isso

😉👍

Passo 2

Para resolver essa integral dupla, nós precisamos encontrar os limites de integração. Repara que o enunciado disse a região que estamos integrando está delimitada no primeiro quadrante por duas circunferências: a x 2 + y 2 = 4 e a x 2 + y 2 = 1 e por duas retas, a x = y e a y = 0 .

Como envolvem circunferências, uma boa ideia é usar coordenadas polares para definirmos esses limites. Isso vai ajudar bastante a facilitar os cálculos.

Então precisaremos fazer as seguintes mudanças para coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Lembrando, que qualquer mudança de variável, implica em multiplicar a função da integral pelo Jacobiano. Nas coordenadas polares, o Jacobiano dessa transformação sempre será

J = r

Passo 3

Agora vamos analisar os intervalos de integração! O enunciado forneceu duas equações de circunferência:

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

A primeira corresponde a uma circunferência de raio igual a 1 . Já a segunda, é uma circunferência de raio igual a 2 .

O problema também diz que a região está limitada no primeira quadrante e pelas retas x = y e y = 0 .

Então a região que estamos estudando será essa abaixo:

Repara que o raio r varia entre 1 e 2 e o ângulo θ entre 0 e π / 4 .

Passo 4

Agora que encontramos os limites de integração, vamos substituir na integral. Lembrando que a integral que estamos resolvendo tem essa cara:

∬ R   x   d x d y

E que x = r cos ⁡ θ

Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a x e y :

∫ 1 2   ∫ 0 π 4 r cos ⁡ θ r d θ d r

∫ 1 2   ∫ 0 π 4 r 2 cos ⁡ θ d θ d r

Passo 5

Agora partiu resolver a integral!

∫ 1 2   ∫ 0 π 4 r 2 cos ⁡ θ d θ d r

Vamos começar usando o teorema de Fubini que diz que devemos integrar de dentro para fora, por isso vamos integrar primeiro em relação a θ . Então, podemos colocar o r 2 do lado de fora da integral e teremos:

∫ 1 2 r 2   ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ d θ d r

E a integral do cosseno é o seno. Assim:

∫ 1 2 r 2 sen ⁡ θ θ = 0 θ = π 4 d r

∫ 1 2 r 2 sen ⁡ π 4 - sen ⁡ 0 ° d r

Sendo sen ⁡ π 4 = 2 2 e sen ⁡ 0 ° = 0 . E nossa integral se torna:

∫ 1 2 r 2 2 2 d r

Podemos colocar 2 2 , já que é uma constante

2 2 ∫ 1 2 r 2 d r

E agora nos resta resolver essa última integral e correr para o abraço.

2 2 r 3 3 r = 1 r = 2

2 2 2 3 3 - 1 3 3

Que nos dá:

2 2 7 3 = 7 2 6

E prontinho, chegamos ao fim de mais uma questão. 😊

Resposta

∬ R   x   d x d y = 7 2 6

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}