Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 5c

  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

1 3 0 y 1 x 2 + y 2   d x d y

Passo 1

Bem, a primeira coisa aqui é tentar entender um pouco melhor sobre a própria região que estamos querendo trabalhar.

A única informação que temos sobre a região é dada pela própria integral afinal de contas sabemos que:

1 y 3

0 x y

Pow! Com essa primeira inequação, ganhamos:

y = 1

y = 3

x = 0

x = y

Colocando essas quatro equações em um plano, obtemos essas quatro retas:

Onde logo obtemos a região, no interior delas

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o próprio problema nos pediu, devemos mudar então para as famosas coordenadas polares, onde vamos fazer a seguinte troca:

x = r cos θ

y = r sin θ

x 2 + y 2 = r 2

Não se esqueça do Jacobiano:

J = r

Pois bem! Toda e qualquer mudança que fazemos temos que determinar quais são os limites dos novos camaradas (no caso é o r e θ ). Bora?

Passo 3

Agora preciso de muita atenção sua, pois o ângulo θ , como ele gira saindo do eixo x dessa forma

vamos obter seus limites usando a reta de entrada do ângulo, y = x e a reta de saída que é x = 0 . Como?! Não se preocupe, pois basta substituir as polares nessas duas retas . Veja!

x = y                   r cos θ = r sin θ

cortando o r dos dois lados...

cos θ = sin θ

Agora quando o cosseno é igual ao seno no primeiro quadrante? Exatamente! Quando o ângulo é de 45   ° , sacou? Logo o ângulo inicial é de π 4 .

Para o ângulo de saída...

x = 0                             r cos θ = 0

como o r é positivo...

cos θ = 0

Então o ângulo θ de saída só pode ser de 90   ° logo a gente pode afirmar que...

π 4 θ π 2

Passo 4

Muito bem! Agora vamos descobrir a variação do raio usando essas duas retas horizontais, pois o raio sempre entra em uma e sai na outra, saca? (Acompanhe com o seu dedo, a reta preta para você ver onde o raio entra e sai experimentalmente haha !

Utilizando a reta vermelha (de entrada)...

y = 1     S u b s t i t u i n d o   p e l a f o r m a   p o l a r                 r sin θ = 1

Isolando o r ...

r = 1 sin θ = cossec θ

Agora com a reta amarela de saída...

y = 3                           r sin θ = 3

r = 3 sin θ = 3 cossec θ

Passo 5

Com esses dados de variação em mãos

cossec θ r 3 cossec θ

π 4 θ π 2

podemos então agora montar a integral simplesmente substituindo tudo (não esqueça de multiplicar pelo Jacobiano quando realizar a troca)

1 3 0 y 1 x 2 + y 2   d x d y = π 4 π 2 cossec θ 3   cossec θ 1 r 2 r   d r d θ =

π 4 π 2 cossec θ 3   cossec θ   d r d θ

Agora é só integrar! Bora?

Passo 6

Resolvendo então a integral de dentro:

π 4 π 2 cossec θ 3   cossec θ   d r d θ = π 4 π 2 cossec θ 3   cossec θ   d r d θ =

π 4 π 2   r cossec θ 3   cossec θ d θ

substituindo os limites...

π 4 π 2   r cossec θ 3   cossec θ d θ = π 4 π 2 3 cossec θ - cossec θ d θ =

π 4 π 2 2 cossec θ d θ

Passando esse dois pra fora...

2 π 4 π 2 cossec θ d θ

Agora aqui eu preciso muito que você se recorde dessa integral (ela é uma das que temos que memorizar, lembra?)

Logo...

2 π 4 π 2 cossec θ d θ = 2   ln cossec θ - cotg θ π 4 π 2 =

substituindo...

2 ln cossec π 2 - cotg π 2 - ln cossec π 4 - cotg π 4 =

2 ln 1 - 0 - ln 2 - 1 =

- 2 ln 2 - 1

Resposta

c )     - 2 ln 2 - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas