Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Coordenadas polares

Considere a região plana D dada por:

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 - 2 x ≤ 0 , x ≥ 1

E a integral dupla

I = ∬ D x x 2 + y 2 d x d y

  1. Esboce a região D
  2. Expresse a integral I como uma integral iterada nas variáveis cartesianas x e y, integrando primeiro com respeito a y e em seguida com respeito a x (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral).
  3. Expresse a integral I como uma integral iterada nas variáveis polares r e θ . (Obs.: Neste item não é pedido o cálculo da integral)
  4. Calcule I (usando o método que preferir)

Passo 1

a )

Antes de esboçarmos a região vamos entender o que ela é. Uma delas é a parte de dentro de uma circunferência

x 2 + y 2 - 2 x = 0

Completando quadrados

x 2 - 2 x + 1 + y 2 = + 1

x - 1 2 + y 2 = 1

Isso é uma circunferência de raio 1 e centro em 1,0 , como x ≥ 1 ele quer a parte da direita da circunferência, porque x = 1 passa no centro dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para escrever a integral como ele quer precisamos ver qual intervalo de x ele varia, e entre que funções de y ele varia. Podemos ver que em x , ele vai de 1 à 2 .

Em y ele vai da parte de baixo da circunferência até a parte de cima dela. Vamos escrever isso

x - 1 2 + y 2 ≤ 1

y 2 ≤ 1 - x - 1 2

- 1 - x - 1 2 ≤ y ≤ 1 - x - 1 2

Podemos escrever D assim

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 2 , - 1 - x - 1 2 ≤ y ≤ 1 - x - 1 2

A integral fica

I = ∫ 1 2 ∫ - 1 - x - 1 2 1 - x - 1 2 x x 2 + y 2 d y d x

Passo 3

c )

Vamos fazer por coordenadas polares agora, para isso faremos, então:

x = r   c o s   θ

y = r   s e n   θ

J = r

Passo 4

Vamos começar vendo como varia os ângulos, olha essa figura aqui embaixo

Repara que são dois triângulos iguais, os dois isósceles, então os ângulos vão ser π 4

Lembra só do sinal hein, o inicial é negativo porque começamos a contagem então

- π 4 ≤ θ ≤ θ 4

Vamos ver agora o valor de r . Repara que x começa em x = 1 , em coordenadas polares isso quer dizer

r cos ⁡ θ = 1

r = 1 cos ⁡ θ

Ele termina na circunferência

x 2 + y 2 - 2 x = 0

r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 - 2 r cos ⁡ θ = 0

r 2 - 2 r cos ⁡ θ = 0

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Então vamos ter o r sendo

1 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

A integral vai ficar

I = ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 r d r d θ = ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ r 2 d r d θ

I = ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ

Passo 5

d )

Dentre as duas integrais a das coordenadas polares é bem mais fácil, vamos resolve-la

I = ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ = ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ θ r r = 1 / cos ⁡ θ r = 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ d θ

I = ∫ - π / 4 π / 4 2 cos 2 ⁡ θ - 1 d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ + 1 2

I = ∫ - π / 4 π / 4 2 cos ⁡ 2 θ + 1 2 - 1 d θ = ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ 2 θ + 1 - 1 d θ = ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ 2 θ d θ

I = ∫ - π / 4 π / 4 cos ⁡ 2 θ d θ = sen ⁡ 2 θ 2 θ = - π / 4 π / 4 = sen ⁡ 2 π 4 2 - sen ⁡ 2 - π 4 2 =

I = sen ⁡ π 2 2 - sen ⁡ - π 2 2 = 1 2 - - 1 2 = 1

Resposta

  1. I = ∫ 1 2 ∫ - 1 - x - 1 2 1 - x - 1 2 x x 2 + y 2 d y d x
  2. I = ∫ - π / 4 π / 4 ∫ 1 / cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d r d θ
  3. I = 1

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