Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

(4) Seja R a região contida no primeiro quadrante do plano, limitada pela curva x 2 + y 2 = 9 , pela reta y = 3 x e pela reta x = 0 . Marque a opção que representa a integral ∬ R     x   d x d y após mudar para coordenadas polares.

  1. ∫ π / 3   π / 2   ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  2. ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ
  3. ∫ π / 3 π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  4. ∫ π / 6   π / 2 ∫ 0 3   r cos ⁡ θ d r d θ
  5. ∫ 0 π / 3 ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ

Passo 1

Bem, em exercícios como esse, vamos, em primeiro lugar, desenhar essa região R .

Sabemos que estamos no primeiro quadrante dentro de uma circunferência de raio 3 , x 2 + y 2 = 9 :

Temos uma reta passando pela origem y = 3 x ...

E, além disso, nossa região também está delimitada pela reta x = 0 ...

Logo a região que estamos trabalhando é esse pedacinho de pizza aqui, oh:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o problema nos pediu, devemos fazer uma mudança para as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Só que não podemos esquecer que uma mudança nos exige que multipliquemos pelo Jacobiano que no caso das polares é:

J = r

Agora, como toda e boa mudança, devemos buscar os limites dos novos caras!

Passo 3

Para o limite de r , bem... Ele está variando da origem, até o raio da borda da “pizza” ou melhor da circunferência vermelha:

0 ≤ r ≤ 3

Já o θ , bem, lembrando que o θ é esse ângulo que inicia no eixo x e gira no sentido anti-horário assim:

Percebemos que no caso o ângulo θ inicia na reta azul e vai até o ângulo de 90 ° ...

R e t a   a z u l ≤ θ ≤ π 2

A reta azul é:

y = 3 x

substituindo as coordenadas polares...

r sin ⁡ θ = 3   r cos ⁡ θ       →

r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = 3                   →        

tan ⁡ θ = 3

Logo, o θ só pode nesse caso ser de 60 ° ...

π 3 ≤ θ ≤ π 2

Passo 4

Com esses dois intervalos:

π 3 ≤ θ ≤ π 2

0 ≤ r ≤ 3

Podemos remontar a integral dupla, mas não se esquecendo de multiplicar a função pelo Jacobiano:

∬ R     x   d x d y = ∫ π 3 π 2 ∫ 0 3 r cos ⁡ θ ⋅ J   d r d θ =

∫ π 3 π 2 ∫ 0 3 r 2 cos ⁡ θ   d r d θ

Resposta

a )     ∫ π / 3   π / 2   ∫ 0 3   r 2 cos ⁡ θ d r d θ

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