7 - Usando coordenadas polares, calcule:

a) ∫ ∫ R x 2 + y 2 2 d x d y , onde R = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ;

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para obter a integral dessa questão, temos que converter nossas variáveis para coordenadas polares. Fazemos isso como um método pra facilitar nossos cálculos, muito provavelmente se tentássemos calcular essa integral pelo método que tínhamos aplicado até agora, seria muito mais difícil.

Mas como vamos aplicar coordenadas polares? 🤔

A ideia é substituir as coordenadas cartesianas pelas coordenadas polares, lembra?

x = r c o s θ y = r s e n θ x 2 + y 2 = r 2 J a c o b i a n o = r

Com isso, ao invés de integrarmos com relação a x e y , vamos integrar com relação a r e θ .

Fazendo essas substituições, podemos ter uma integral muito mais simples.

Bora ver?

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos desenhar a região R no plano cartesiano pra definir r e θ .

Vemos que x 2 + y 2 ≤ 4 representa um círculo de raio 2 e x ≥ 0 nos diz que estamos interessados em valores de x positivos.

Plotando essas curvas, podemos ver que a hachura mais escura é a parte que estamos interessados.

Como vimos, nosso r vai de 0 a 2 , então nossos limites de integração em r são esses.

Sempre consideramos o semieixo positivo de x como referência para o ângulo 0 ° . Partindo do maior para o menor ângulo, vemos que temos uma variação de π / 2 até - π / 2 , concorda?

Então nossos limites de integração em θ é de π / 2 a - π / 2 . Lembrando que sempre temos que descrever os ângulos em radianos na integral.

Por falar na nossa integral. ⚠🛑❌ ATENÇÃO! Nunca esqueça de acrescentar o jacobiano r   quando converter uma integral para integral polar!

Com isso, nossa integral será

∫ 0 2 ∫ - π / 2 π / 2 x 2 + y 2 2 r d θ d r

Mas ainda temos que modificar nossa função de integração. Observando a função, vemos que x 2 + y 2 = r 2 por conta da equação da circunferência, então substituindo, vamos obter

∫ 0 2 ∫ - π / 2 π / 2 r 2 2 r d θ d r

Simplificando um pouquinho, temos

∫ 0 2 ∫ - π / 2 π / 2 r 5 d θ d r

Agora sim!

Passo 3

Percebeu como está mais clean a integral agora?

Primeiro vamos integrar com relação a θ , assim r se comporta como uma constante. Como não temos θ na nossa função, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ - π / 2 π / 2 r 5 d θ = r 5 θ ​ θ = - π 2 π / 2

∫ - π / 2 π / 2 r 5 d θ = r 5 π 2 - - π 2

∫ - π / 2 π / 2 r 5 d θ = π r 5

Agora integramos com relação a r . Por integração polinomial, dividimos a variável pela sua potência + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ 0 2 π r 5 d r = π r 5 + 1 5 + 1 = π r 6 6 ​ r = 0 2

∫ 0 2 π r 5 d r = π 2 6 6 - π 0 6 6

∫ 0 2 π r 5 d r = 32 π 3

Dessa forma, obtermos o resultado da nossa integral como 32 π / 3 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 2 ∫ - π / 2 π / 2 r 5 d θ d r = 32 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}