Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Calcule

∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 d y d x

Esboce a região de integração.

Passo 1

Vamos começar esboçando a região de integração, temos:

0 ≤ x ≤ a

0 ≤ y ≤ a 2 - x 2

Já sabe que região é essa? Calma, vamos arrumar isso aqui pra descobir? A equação

y = a 2 - x 2

Pode ser reescrita como

y 2 = a 2 - x 2

Tal que y ≥ 0 , porque o resultado da raiz não pode ser negativo, né. Temos que tomar cuidado com isso ao elevar uma equação ao quadrado!

Certo, isso é o mesmo que:

x 2 + y 2 = a 2

y ≥ 0

Ou seja, a parte acima do eixo x de uma circunferência de raio a . Como nós tínhamos 0 ≤ y ≤ a 2 - x 2

Sabemos então que y varia desde y = 0 até a curva dessa circunferência.

Agora falta o intervalo de x , temos:

0 ≤ x ≤ a

Ou seja, x varia desde a origem até o raio da circunferência. Aplicando isso na nossa figura, temos a seguinte região:

Beleza?

Passo 2

Beleza, agora vamos escrever matematicamente essa região. Como temos um círculo, vamos usar coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

A região para a ser então 0 ≤ θ ≤ π / 2 (pois temos um quarto de volta trigonométrica) e 0 ≤ r ≤ a , pois o raio varia desde a origem até a circunferência de raio a .

Passo 3

Fazendo essa substituição na integral, temos:

∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 d y d x =

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a r d r d θ =

Esse r na integral vem do Jacobiano!

Passo 4

Integrando em relação a r , temos:

= ∫ 0 π / 2 r 2 2 0 a d θ =

= a 2 2 ∫ 0 π / 2 d θ =

Agora em relação a θ :

= a 2 2 θ 0 π / 2 =

= a 2 2 π 2 - 0 =

= a 2 π 4 =

Resposta

a 2 π 4

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