Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2013 Tarde - 1

Utilize coordenadas polares para calcular

R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) R 2 | x 2 + y 2 4   e   x 1

Passo 1

Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região R , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Queremos a parte com x 1 do círculo de raio 2 :

Temos, então, essa região cinza.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares.

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

Como o raio vai desde a reta x = 1 até a circunferência de raio 2 , vamos fazer a mudança polar na reta:

x = 1 = r cos θ

r = 1 cos θ

Logo

1 cos θ r 2

Agora, para achar o intervalo de θ , precisamos descobrir onde a reta corta a circunferência, ou seja, onde:

r = 1 cos θ = 2

Isso ocorre se

cos θ = 1 2

θ = π 3 - π 3

Logo, temos - π 3 θ π 3 .

Passo 3

Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

R   x x 2 + y 2 d A = - π 3 π 3 1 cos θ 2 r cos θ r 2 r d r d θ

Temos, então:

= - π 3 π 3 1 cos θ 2 cos θ d r d θ =

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= - π 3 π 3 r cos θ 1 cos θ 2 d θ =

= - π 3 π 3 2 cos θ - 1 d θ =

= 2   s e n   θ - θ - π 3 π 3 =

= 2 3 2 - π 3 - - 2 3 2 + π 3 =

= 2 3 - 2 π 3

Resposta

2 3 - 2 π 3

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