Calcule a integral

∬ D x   d A

Onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x , y = 0 , e pelos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y ² = 4 .

Passo 1

Então pessoal, vamos começar fazendo um esboço da região que estamos integrando.

Primeiro, a gente vai ter dois círculos, um de raio 1 :

x 2 + y 2 = 1

E um de raio 2 :

x 2 + y 2 = 2 2 = 4

Então:

Mas o enunciado pediu pra olhar só para o primeiro quadrante. E só na região entre as retas y = x e y = 0 , então:

Beleza, é essa região aí que queremos analisar.

Vale lembrar, aproveitando o desenho, que essa reta y = x faz um ângulo de 45 ° com o eixo horizontal.

Passo 2

Beleza, já que estamos lidando com círculos, vamos passar o problema para coordenadas polares. Pra isso vamos usar essas transformações aqui:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

Então a nossa função, que é simplesmente x , vai ficar assim:

x = r cos ⁡ θ

E o Jacobiano vai seguir a fórmula de sempre:

d A = d x   d y = r   d r   d θ

A parte difícil vem na hora de definir os limites de integração. A gente pode fazer isso só olhando o desenho:

Pra preencher essa área aí, o nosso raio tem que ir desde o círculo de raio 1 ( r = 1 ) até o círuclo de raio 2 ( r = 2 ), então:

1 ≤ r ≤ 2

E o ângulo tem que ir desde o θ = 0 até o θ = 45 ° = π / 4 :

0 ≤ θ ≤ π / 4

Passo 3

Então já temos tudo pra montar a integral:

I = ∬ D x   d A = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r cos ⁡ θ   r   d r   d θ

Ou seja:

I = ∫ 0 π 4 ∫ 1 2 r 2 cos ⁡ θ     d r   d θ

E dá pra separar isso em um produto de duas integrais:

I = ∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ ∫ 1 2 r 2   d r

E então vamos calcular cada uma delas. Primeiro, lembrando que a integral de cos ⁡ θ é sen ⁡ θ :

∫ 0 π 4 cos ⁡ θ   d θ = sen ⁡ θ π / 4 0 = sen ⁡ π 4 - sen ⁡ 0 = 2 2 - 0

E a segunda é simplesmente a integral de um polinômio:

∫ 1 2 r 2   d r = 1 3 r 3 2 1 = 2 3 3 - 1 3 3 = 8 3 - 1 3 = 7 3

Então, juntando as duas:

I = 2 2 7 3 = 7 2 6

Pronto! Esse é o valor da integral.

Resposta

A integral vale 7 2 6 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}