Calcule a integral, colocando-a em coordenada polar:

∬ R sin ⁡ x 2 + y 2 d A

Onde R é a região anular 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função, sin ⁡ x 2 + y 2 , e pediu pra gente calcular a integral dupla dela sobre a região 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 , colocando em coordenada polar. Lembra das coordenadas polares? Ela tem essa cara:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E não podemos esquecer do Jacobiano da mudança, que é:

J = r

E olha que coisa linda, se a gente somar os quadrados dessas coordenadas polares, nós vamos ter:

x 2 + y 2 = r 2

Então nossa integral fica:

∬ R sin ⁡ x 2 + y 2 d A = ∬ R r θ sin ⁡ r 2 ∙ J d r d θ

= ∬ R r θ sin ⁡ r 2 ∙ r d r d θ

Já ficou mais bonitinho, né? Só falta a gente definir a região de integração, para escrever nossos limites e integrar.

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado diz que nossa região R é 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 . Isso significa que ela é maior que a circunferência x 2 + y 2 = 1 , de raio 1 , e menor que a circunferência x 2 + y 2 = 4 2 , de raio 4 .

Então a gente tem isso aqui:

Beleza, então o nosso raio tá variando de 1 a 4 , enquanto nosso ângulo θ tá variando de 0 a 2 π (uma volta completa na circunferência). Ou seja:

1 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

E aí nossa integral fica assim:

∬ R r θ sin ⁡ r 2 ∙ r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 4 sin ⁡ ( r 2 ) r d r d θ

Passo 3

Vamos começar a calcular a integral em relação a r fazendo uma mudança:

r 2 = u

d u = 2 r d r →   r d r = d u 2

Não se esquecendo os limites:

r = 1 → u = 1 2 = 1

r = 4 → u = 4 2 = 16

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 2 π ∫ 1 4 sin ⁡ ( r 2 ) r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 16 sin ⁡ ( u ) d u 2   d θ

Colocando a constante do lado de fora da integral:

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 16 sin ⁡ ( u ) d u   d θ

Integrando:

1 2 ∫ 0 2 π - cos ⁡ u 1 16 d θ

Aplicando os limites de integração:

1 2 ∫ 0 2 π ( - cos ⁡ 16 + cos ⁡ 1 ) d θ

Logo,

1 2 ( cos ⁡ 1 - cos ⁡ 16 ) ∫ 0 2 π d θ

Integrando agora em relação a θ :

cos ⁡ 1 - cos ⁡ 16 2 θ 0 2 π

Aplicando os limites:

cos ⁡ 1 - cos ⁡ 16 2 ( 2 π - 0 )

= cos ⁡ 1 - cos ⁡ 16 2 ( 2 π )

= π cos ⁡ 1 - cos ⁡ 16

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

π cos ⁡ 1 - cos ⁡ 16

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}