Calcule as integrais:

b) ∫ ∫ R x y d x d y , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 25 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla ∫ ∫ R x y d x d y sobre a região R , que é a região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 25 . Seria mais ou menos isso aqui:

Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso dessa região, é interessante usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Esse J é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Além disso, r é o raio das circunferências e θ é o nosso ângulo. Com base nessas equações conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que nossa região tá variando de uma circunferêncida de raio 2 até uma circunferência de raio 5 , então temos:

2 ≤ r ≤ 5

Além disso, a região é limitada apenas no primeiro quadrante, então nosso ângulo vai de 0 até π 2 , ou seja:

0 ≤ θ ≤ π 2

Assim, usando r = cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , conseguimos escrever nossa integral na forma:

∫ ∫ R x y d x d y = ∫ 0 π / 2 ∫ 2 5 r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ r d r d θ

= ∫ 0 π / 2 ∫ 2 5 r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d r d θ

Então, integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 π / 2 r 4 4 2 5 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ 0 π / 2 5 4 4 - 2 4 4 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

∫ 0 π / 2 609 4 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora, antes de integrar em relação a θ , vamos usar a relação trigonométrica cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 1 2 sin ⁡ ( 2 θ ) , pra facilitar nossas contas. Assim, vamos ter:

∫ 0 π / 2 609 4 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = 609 4 ∫ 0 π / 2 1 2 sin ⁡ ( 2 θ ) d θ

Integrando em relação a θ :

= 609 4 - 1 4 cos ⁡ ( 2 θ ) 0 π / 2

- 609 16 cos ⁡ ( 2 θ ) 0 π / 2

Aplicando os intervalos de integração em θ :

- 609 16 [ cos ⁡ ( π ) - cos ⁡ 0 ]

Como cos ⁡ ( π ) = - 1 e cos ⁡ 0 = 1 , temos:

- 609 16 - 1 - 1 = 1218 16

Ou, simplificando:

= 609 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

609 8

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}