Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2011.1 - 1b

b) Calcule a integral

∫ 0 a cos ⁡ b   ∫ 0 x tg ⁡ b f ( x , y ) d y d x + ∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

Passo 1

Como temos termos quadráticos tanto no domínio como na função a ser integrada, vamos utilizar coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos passar a nossa função f pra coordenadas polares

f = x 4 - y 4 = r cos ⁡ θ 4 - r sen ⁡ θ 4 = r 4 cos 4 ⁡ θ - sen 4 ⁡ θ

O que dá uma facilitada na nossa vida é fazer uma diferença de quadrados no termo entre parênteses

cos 4 ⁡ θ - sen 4 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Reconhece o segundo termo? É a identidade fundamental da trigonometria, ou seja, é igual a 1! Já o primeiro pode ser reescrito usando arco duplo pra cosseno

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Então

cos 4 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ 1 = c o s ⁡ ( 2 θ )

Agora a nossa função f ficou com uma cara mais simpática :)

f = r 4 cos ⁡ 2 θ

Então finalmente podemos reescrever os que tá dentro dos nossos integrandos como

x 4 - y 4 d x d y = r 4 cos ⁡ 2 θ r d r d θ = r 5 cos ⁡ 2 θ d r d θ

Show!

Passo 3

Agora precisamos determinar os limites de integração!

Primeiro vamos olhar a primeira integral. Nela a variável y vai de 0 até x tan ⁡ b , então

0 < y < x tan ⁡ b

0 < r sen ⁡ θ < r cos ⁡ θ tan ⁡ b

0 < tan ⁡ θ < tan ⁡ b

Supondo que b > 0 , podemos dizer que

0 < θ < b

Uhul!

Já a coordenada x : essa coordenada vai de 0 até a cos ⁡ b , então

0 < x < a cos ⁡ b

0 < r cos ⁡ θ < a cos ⁡ b

0 < r < a cos ⁡ b cos ⁡ θ

Show! Como escrevemos os limites de r como uma função de θ então vamos primeiro integrar em r e depois em θ , beleza?

Passo 4

A primeira integral então fica

∫ 0 b ∫ 0 a cos ⁡ b / cos ⁡ θ r 5 cos ⁡ 2 θ d r   d θ

= ∫ 0 b cos ⁡ 2 θ r 6 6 0 a cos ⁡ b cos ⁡ θ d θ = 1 6 ∫ 0 b cos ⁡ 2 θ a 6 cos 6 ⁡ b cos 6 ⁡ θ d θ

= a 6 cos 6 ⁡ b 6 ∫ 0 b cos ⁡ 2 θ cos 6 ⁡ θ d θ

Agora temos que fazer essa integralzinha rsrsrsrs

Pra isso vamos reescrever

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Então a integral fica

a 6 cos 6 ⁡ b 6 ∫ 0 b 2 cos 2 ⁡ θ - 1 cos 6 ⁡ θ d θ = a 6 cos 6 ⁡ b 6 ∫ 0 b ( 2 sec 4 ⁡ θ - sec 6 ⁡ θ )   d θ

Essa integral é beeemm chatinha. O resultado dela é

= a 6 cos 6 ⁡ b 6 1 10 6 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 4 θ + 3 tan ⁡ θ sec 4 ⁡ θ 0 b

Lembrando que tan ⁡ 0 = 0

= a 6 cos 6 ⁡ b 6 1 10 6 cos ⁡ 2 b + cos ⁡ 4 b + 3 tan ⁡ b sec 4 ⁡ b

= a 6 cos ⁡ b sen ⁡ b 60 6 cos ⁡ 2 b + cos ⁡ 4 b + 3

Show!

Passo 5

Agora vamos pra segunda integral!

A coordenada y é limitada por

0 < y < a 2 - x 2 → 0 < r sen ⁡ θ < a 2 - r 2 cos 2 ⁡ θ

E a coordenada x é limitada por

a cos ⁡ b < x < a

a < r cos ⁡ θ < a cos ⁡ b

Meio complicado, né? O engraçado é que nessa integral é mais fácil usar as coordenadas cartesianas mesmo ¯¯\_(ヅ)_/¯

∫ a cos ⁡ b a   ∫ 0 a 2 - x 2 x 4 - y 4 d y d x = ∫ a cos ⁡ b a x 4 y - y 5 5 0 a 2 - x 2   d x

= ∫ acos ⁡ b a x 4 a 2 - x 2 - a 2 - x 2 5 d x

∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 x 4 - a 2 - x 2 4 d x

O que tá dentro dos colchetes fica

x 4 - a 2 - x 2 4 = x 4 - a 2 - x 2 2 = x 4 - a 4 - 2 a 2 x 2 + x 4 = 2 a 2 x 2 - a 4

Assim

∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 2 a 2 x 2 - a 4 d x = 2 a 2 ∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 x 2 d x - a 4 ∫ acos ⁡ b a a 2 - x 2 d x

De novo, uma integrais chatinhas haha

= 2 a 2 8 x a 2 - x 2 2 x 2 - a 2 + a 4 arctan ⁡ x a 2 - x 2 - a 4 2 x a 2 - x 2 + a 2 arctan ⁡ x a 2 - x 2 a a cos ⁡ b

= a 2 4 a cos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b 2 a 2 cos 2 ⁡ b - a 2 + a 4 arctan ⁡ acos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b - a 4 2 a cos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b - a 6 2 arctan ⁡ acos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b

Vamos reescrever as raízes como

a 2 - a 2 c o s 2 b = a 1 - cos 2 ⁡ b = a sen 2 ⁡ b = a sen ⁡ b

E esses arcos tangentes

arctan ⁡ acos ⁡ b a 2 - a 2 cos 2 ⁡ b = arctan ⁡ a cos ⁡ b a sen ⁡ b = arctan ⁡ c o t a n   b

Então finalmente

= a 6 4 cos ⁡ b sen ⁡ b 2 cos 2 ⁡ b - 1 + a 6 4 arctan ⁡ c o t a n   b - a 6 2 cos ⁡ b sen ⁡ b - a 6 2 arctan ⁡ c o t a n   b

= a 6 4 cos ⁡ b sen ⁡ b 2 cos 2 ⁡ b - 3 - arctan ⁡ c o t a n   b

Ufa hahaha!

Passo 6

Agora é só juntar tudo depois de toda essa sofrência hahaha

a 6 cos ⁡ b sen ⁡ b 60 6 cos ⁡ 2 b + cos ⁡ 4 b + 3 + a 6 4 cos ⁡ b sen ⁡ b 2 cos 2 ⁡ b - 3 - arctan ⁡ c o t a n   b

Feshow? :D

Resposta

a 6 cos ⁡ b sen ⁡ b 60 6 cos ⁡ 2 b + cos ⁡ 4 b + 3 + a 6 4 cos ⁡ b sen ⁡ b 2 cos 2 ⁡ b - 3 - arctan ⁡ c o t a n   b

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