Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2016.1, Questão 1

Calcule a integral dupla

R x + 1 d A

Onde R é a região definida por

R = x , y 2 y x 2 + y 2 4 y ,   - y x y

Passo 1

Bem, primeiro de tudo, vamos tentar entender nossa região.

Nós temos a fronteira de:

x 2 + y 2 4 y

x 2 + y 2 - 4 y = 0

x 2 + y - 2 2 = 4

Uma circunferência com centro em 0,2 de raio 2 .

Mas também temos que pegar a região externa de.

2 y x 2 + y 2

0 = x 2 + y 2 - 2 y

x 2 + y - 1 2 = 1

Também uma circunferência descentralizada, mas dessa vez em 0,1 e com raio 1 .

E por fim, temos duas retas:

- y = x         e         x = y

Se desenharmos, vamos ter:

Aquele x 2 + y 2 já nos dava uma dica que temos que usar coordenadas polares, mas com o desenho da pra ver que o θ também é bem definido, então vamos ver como que fica!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamo lembrar como são as coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

E nossa região vai ficar:

2 y x 2 + y 2 4 y 2   r sen θ r 2 4   r sen θ

2 sen θ r 4 sen θ

E as retas nos dão:

- y = x - r sen θ = r cos θ

- sen θ = cos θ θ = 3 π 4

E

x = y r cos θ = r sen θ

cos θ = sen θ θ = π 4

Então podemos escrever nossa integral:

R x + 1 d A = π 4 3 π 4 2 sen θ 4 sen θ r cos θ + 1 r   d r d θ

Nada muito complicado, é só partir pro abraço!

Passo 3

Vamos resolver:

π 4 3 π 4 2 sen θ 4 sen θ r cos θ + 1 r   d r d θ = π 4 3 π 4 2 sen θ 4 sen θ r 2 cos θ + r   d r d θ

π 4 3 π 4 r 3 3 cos θ + r 2 2 2 sen θ 4 sen θ   d θ

= π 4 3 π 4 64 sen 3 θ - 8 sen 3 θ 3 cos θ + 16 sen 2 θ - 4 sen 2 θ 2   d θ

π 4 3 π 4 56 sen 3 θ 3 cos θ d θ + π 4 3 π 4 12 sen 2 θ 2   d θ

Vamos só separar aqui pra não ficar muito confuso...

Passo 4

Primeiro temos:

π 4 3 π 4 56 sen 3 θ 3 cos θ d θ

Podemos fazer a substituição:

u = sen θ

d u = cos θ d θ

Então, vamos ter:

56 sen 3 θ 3 cos θ d θ = 8 3 u 3 d u = 56 3 u 4 4 = 14 sen θ 4 3

Aplicando os limites de integração:

14 sen 4 θ 3 π 4 3 π 4 = 14 3 sen 3 π 4 4 - sen π 4 4 = 14 3 2 2 4 - 2 2 4 = 0

Isso tudo pra dar zero?? Mas calma que ainda tem o outro pedaço, vamos ver!

Passo 5

O outro pedaço era:

π 4 3 π 4 12 sen 2 θ 2   d θ

Vamos lembrar que sen 2 θ = 1 - cos 2 θ 2 , então:

π 4 3 π 4 6 sen 2 θ   d θ = π 4 3 π 4 6 1 - cos 2 θ 2   d θ

3 π 4 3 π 4 1 - cos 2 θ   d θ = 3 θ π 4 3 π 4 - sen 2 θ 2 π 4 3 π 4 = 3 2 π 4 - - 1 - 1 2 = 3 π 2 + 3

Como o primeiro pedaço deu zero, então a resposta vai ser essa mesmo!

Resposta

3 π 2 + 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas