7 - Usando coordenadas polares, calcule:

c) ∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y , onde R é a região limitada por x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Temos uma integral para resolver, dada por

∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y

Onde R é a região limitada entre as duas equações x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 .

Se tentássemos calcular essas integrais pelo método convencional, íamos ter um enorme trabalho.

Mas então como vamos calcular esse negócio??

Observando a região R , vemos que ela é limitada por duas circunferências, isso é um indício que temos que converter os valores de x e y para coordenadas polares.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Passo 2

Primeiro de tudo vamos identificar nossa região de integração e definir nossos limites de integração.

Desenhando nossas curvas x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 , temos

Só de ver esse gráfico já bateu uma fome de donuts, não é? 😋

Quando temos a região de integração na forma de circular ou elíptica, temos que observar duas coisas.

A primeira a variação angular que a região faz com a origem do sistema e a variação do raio da circunferência.

Como a região leva em consideração o anel completo, a variação angular usando sempre como base o semieixo x positivo é de 0 a 2 π

Já a variação do raio é a distância mínima e máxima da região com a origem. Vemos que o limite mínimo é dado quando estamos sob a circunferência x 2 + y 2 = 1 , ou seja, quando o raio é igual a 1 . Já o limite máximo é dado quando estamos sob a circunferência x 2 + y 2 = 9 , ou seja, quando o raio é igual a 3 (raio = 9 ).

Com isso, os limites de integração de f é dado por

∫ 1 3 ∫ 0 2 π x 2 + y 2 r d θ d r

Mas e aí, agora é só calcular a integral?

Passo 3

Calma, já vamos poder calcular essa integral, mas ainda falta uma coisinha.

Nossa função é dada por f x , y = x 2 + y 2 , mas temos que converter para coordenadas polares f r , θ .

Para converter para polares, temos que substituir x = r c o s θ e y = r s e n θ , ou no caso, como temos x 2 + y 2 , substituímos simplesmente por r 2 . Só lembrar da equação da circunferência x 2 + y 2 = r 2 .

f r , θ = r 2

f r , θ = r

Agora sim, substituindo essa função na nossa integral sem esquecer do jacobiano r !

∫ 1 3 ∫ 0 2 π r r d θ d r → ∫ 1 3 ∫ 0 2 π r 2 d θ d r

Primeiro integrando com relação a θ , vemos que não temos θ na nossa função então r 2 se comporta como uma constante.

Como sabemos a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ r 2 d θ = r 2 θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π r 2 d θ = r 2 2 π - r 2 0

∫ 0 2 π r 2 d θ = 2 π r 2

Agora temos que usar o resultado dessa integral pra integrar com relação a r

Passo 4

Agora temos a integral

∫ 2 π r 2 d r

Por integração de polinômios, dividimos a variável pela sua potência + 1 e somamos 1 no seu expoente.

∫ 2 π r 2 d r = 2 π r 2 + 1 2 + 1 = 2 π r 3 3

Se aplicarmos os limites de integração, temos

∫ 1 3 2 π r 2 d r = 2 π 3 3 3 - 2 π 1 3 3

∫ 1 3 2 π r 2 d r = 52 π 3

Logo, nossa resposta é

∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y = 52 π 3

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ ∫ R x 2 + y 2 d x d y = 52 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}