6) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

b) ∫ 0 4 ∫ - 4 - y - 2 2 4 - y - 2 2 x + y x 2 + y 2 d x d y = ∫ a b ∫ c d ? ? ? d r d θ ,   onde:

a = ? ? ? , b = ? ? ? , c = ? ? ? e d = ? ? ? ;

Passo 1

Falaaa... belezinha???

Repara que tem um r e um θ , então nessa questão vamos fazer a mudança de variáveis para coordenadas polares.

Lembrando que, em coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E temos também o jacobiano:

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ  

Passo 2

Vamos desenhar essa área de integração pra achar os limites de integração.

O θ varia de 0 até π .

Já o r varia de 0 até a equação do círculo, que é:

x 2 + y - 2 2 = 4

Em coordenadas esféricas:

r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ - 2 2 = 4

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ - 4 r sen ⁡ θ + 4 = 4

r 2 = 4 r sen ⁡ θ

r = 4 sen ⁡ θ

Então o r varia de 0 até 4 sen ⁡ θ

Passo 3

Calculando o jacobiano:

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

= cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ sen ⁡ θ r cos ⁡ θ

= r

Lembrando de trocar o que a gente ta integrando também:

x + y x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

= cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r

Daí ficamos com a integral:

∫ a b ∫ c d ? ? ? d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 4 sen ⁡ θ r   cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 4 sen ⁡ θ ( cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ) d r d θ

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 4 sen ⁡ θ ( cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ) d r d θ

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}