Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Considere a região D do plano limitado pela curva x 2 + y 2 = 2 y .

  1. Esboce D em coordenadas cartesianas e polares.
  2. Calcule

∬ D x 2 + y 2   d x d y

Passo 1

  1. Bom, pra começar essa letra (a) aí, bora começar completando o quadrado.

x 2 + y 2 = 2 y → x 2 + y - 1 2 = 1

Com a função escrita desse jeito fica mais fácil da gente ver que se trata de uma circunferência deslocada no eixo y. Seu centro passa a ser no ponto (0,1), e tem raio 1.

Agora passando tudo isso pra coordenadas polars, as substituições são

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

J = r

Bora lembrar como a gente estuda a variação dos intervalos?

Observando o gráfico vemos que nosso θ varia de 0 a π , uma vez que zero representa o a partida do eixo x positivo, fazendo uma “varredura” de meia volta ( π ) até o eixo x negativo.

Para obtermos a variação do r, basta fazer as devidas substituições.

x 2 + y 2 = 2 y

r 2 = 2 . r   s e n θ

r = 2 s e n θ

Com isso observamos que o raio varia entre 0 e ( 2 s e n θ ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Agora calculando ficamos com

∬ D x 2 + y 2   d x d y =

∫ 0 π ∫ 0 2 s e n θ r 2 d r d θ =

8 3 ∫ 0 π s e n 3 θ d θ =

8 3 ∫ 0 π ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) s e n θ d θ =

8 3 ∫ 1 - 1 1 - p 2 - d p =

= 32 9

Resposta

32 9

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