Calcule as integrais:

d) ∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y , onde D é a região limitada pelas espiras r = θ   e r = 2 θ , com 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla ∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y sobre a região D , que é a região limitada pelas espiras r = θ   e r = 2 θ . Só pra genter ter uma noção das curvas, as espiras seriam essas bonitinhas aqui em dois gráficos separados:

Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso dessa região, é interessante usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Esse J é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Mas nesse caso, nossas curvas já estão em coordenadas polares, então a única transformação que vamos fazer é na função do integrando. Lembrando que r é o nosso raio polar e θ é o nosso ângulo. Com base em tudo isso conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que o enunciado já nos diz que a nossa região vai da espira menor r = θ até a espira maior r = 2 θ . Assim, temos:

θ ≤ r ≤ 2 θ

E ele também nos disse que o ângulo é dado pelo intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, usando x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , no integrando ( x 2 + y 2 ) , vamos ter:

x 2 + y 2 = r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = r 2

E conseguimos escrever nossa integral na forma:

∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ θ 2 θ r 2   r   d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ θ θ r 3   d r d θ

Passo 3

Então, integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 2 π r 4 4 θ 2 θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ 0 2 π 2 θ 4 4 - θ 4 4 d θ = 1 4 ∫ 0 2 π 16 θ 4 - θ 4 d θ

= 1 5 4 ∫ 0 2 π θ 4 d θ

Passo 4

Agora integrando em relação a θ , vamos ter:

15 4 ∫ 0 2 π θ 4 d θ = 15 4 θ 5 5 0 2 π

Aplicando os intervalos de integração em θ :

15 20 [ 2 π 5 - 0 5 ]

= 15 20 ( 32 π 5 )

= 24 π 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

24 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}