Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2018.1 - 6ª Diurno, Questão Q01ii

1ii) Calcule as seguintes integrais:

d x x 2 + 2 x + 2

Passo 1

Geralmente quando a gente pega uma integral desses com polinômio de segundo grau dentro de raiz, uma boa saída é fazer substituição trigonométrica. Mas antes disso, vamos dar uma ajeitada nessa integral. Saca só:

d x x 2 + 2 x + 2 = d x x 2 + 2 x + 1 + 1 = d x x + 1 2 + 1

Fazendo a substituição simples:

z = x + 1 d x = d z

Ficamos com: d x x 2 + 2 x + 2 = d z z 2 + 1

Agora que temos um termo menorzinho, dá uma olhada nas relações trigonométricas:

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + ctg 2 θ = csc 2 θ

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

E se uma dessas relações fosse parecida com o que temos dentro da integral? Veja bem:

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

Se escolhêssemos:

z = tg θ

Nossa integral ficaria:

d z z 2 + 1 = d z tg 2 θ + 1 = d z sec 2 θ = d z sec θ

Cada vez menor a integral não é? Falta só uma coisa: transformar d z em d θ . Pra isso, só precisamos derivar viu?

z = tg θ

d z d θ = sec 2 θ

d z = sec 2 θ d θ

E a nossa integral vira:

d z sec θ = sec 2 θ d θ   sec θ = sec θ   d θ = ln sec θ + tg θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que fechamos a integral, só precisamos voltar pra variável original. Veja bem, a substituição que tínhamos feito foi:

z = tg θ

Sendo assim, vamos ter:

ln sec θ + z

Beleza, mas e aquele sec θ sozinho ali? A gente acha ele da seguinte relação trigonométrica:

tg 2 θ + 1 = sec 2 θ

z 2 + 1 = sec 2 θ

sec θ = z 2 + 1

E logo o resultado da nossa integral vira:

ln z 2 + 1 + z

Mas não acabou por aí! A variável original era x e não z ! Da substituição simples:

z = x + 1

Temos então que:

ln z 2 + 1 + z = ln x + 1 2 + 1 + x + 1

A resposta final vai ser:

d x x 2 + 2 x + 2 = ln x + 1 2 + 1 + x + 1 + C

Resposta

d x x 2 + 2 x + 2 = ln x + 1 2 + 1 + x + 1 + C

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