3a) Calcule a integral:

∫ 1 - e 2 x ∙ e x   d x

Passo 1

Parece um tico complicada essa integral, mas relaxa que vamos tirar de letra. Dá uma olhada nessa manipulação:

∫ 1 - e 2 x ∙ e x   d x = ∫ 1 - e x 2 ∙ e x   d x

Opa, não é que e x aparece duas vezes? Uma estratégia interessante então vai ser fazer uma substituição simples:

u = e x

d u d x = e x

d x = d u e x

Logo, vamos ter:

∫ 1 - e x 2 ∙ e x   d x = ∫ 1 - u 2 ∙ e x   d u e x = ∫ 1 - u 2   d u

Passo 2

Agora, ficamos com uma integral um pouco mais tranquila de resolver. Da uma boa olhada no interior da raiz:

1 - u 2

Um polinômio de u , não é? Geralmente quando temos um polinômio com essa cara dentro de uma raiz vai ser interessante fazer uma substituição trigonométrica. Afinal, temos:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Então se:

u = sin ⁡ θ

A identidade trigonométrica fica:

u 2 + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ = 1 - u 2

Olha só! O polinômio no interior da raiz apareceu aí! Substituindo, temos:

∫ 1 - u 2   d u = ∫ cos 2 ⁡ θ   d u = ∫ cos ⁡ θ   d u

Faltou só a gente trocar d u . Pra isso, basta derivar:

u = sin ⁡ θ

d u d θ = cos ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ   d θ

E a integral fica:

∫ cos ⁡ θ   d u = ∫ cos ⁡ θ   cos ⁡ θ   d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Agora é só resolver. Das propriedades trigonométricas, podemos reescrever essa integral para:

∫ cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Agora é direto galera! Olha só como essa integral fica:

∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4 = θ 2 + sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2

Mas como:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Ficamos com:

∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro, vamos voltar às variáveis originais. Temos que a resposta deu:

1 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Mas, como a substituição:

u = sin ⁡ θ

Foi feita, vamos ter que:

θ = arcsin ⁡ u

E da identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Chegamos à:

u 2 + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ = 1 - u 2

cos ⁡ θ = 1 - u 2

Agora sim podemos voltar pra variável u ! Vamos ter:

1 2 θ + sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 2 arcsin ⁡ u + u 1 - u 2

Mas a variável original nem era o u , não é mesmo? Era o x ! Sem problemas, vamos voltar pro x lembrando que:

u = e x

Sendo assim, fechamos a questão e o resultado da integral é:

∫ 1 - e 2 x ∙ e x   d x = 1 2 arcsin ⁡ e x + e x 1 - e 2 x + C

Resposta

∫ 1 - e 2 x ∙ e x   d x = 1 2 arcsin ⁡ e x + e x 1 - e 2 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida: ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1d x
Calcule a integral indefinida: ∫ x 2 2 - x 2d x
Calcule a integral ∫ 1 x 2 4 x 2 - 1 d x