Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFPE, Cálculo 1, PF - 2018.1, Questão Q03a

3a) Calcule a integral:

1 - e 2 x e x   d x

Passo 1

Parece um tico complicada essa integral, mas relaxa que vamos tirar de letra. Dá uma olhada nessa manipulação:

1 - e 2 x e x   d x = 1 - e x 2 e x   d x

Opa, não é que e x aparece duas vezes? Uma estratégia interessante então vai ser fazer uma substituição simples:

u = e x

d u d x = e x

d x = d u e x

Logo, vamos ter:

1 - e x 2 e x   d x = 1 - u 2 e x   d u e x = 1 - u 2   d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, ficamos com uma integral um pouco mais tranquila de resolver. Da uma boa olhada no interior da raiz:

1 - u 2

Um polinômio de u , não é? Geralmente quando temos um polinômio com essa cara dentro de uma raiz vai ser interessante fazer uma substituição trigonométrica. Afinal, temos:

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

Então se:

u = sin θ

A identidade trigonométrica fica:

u 2 + cos 2 θ = 1

cos 2 θ = 1 - u 2

Olha só! O polinômio no interior da raiz apareceu aí! Substituindo, temos:

1 - u 2   d u = cos 2 θ   d u = cos θ   d u

Faltou só a gente trocar d u . Pra isso, basta derivar:

u = sin θ

d u d θ = cos θ

d u = cos θ   d θ

E a integral fica:

cos θ   d u = cos θ   cos θ   d θ = cos 2 θ d θ

Agora é só resolver. Das propriedades trigonométricas, podemos reescrever essa integral para:

cos 2 θ d θ = 1 + cos 2 θ 2 d θ

Agora é direto galera! Olha só como essa integral fica:

1 + cos 2 θ 2 d θ = 1 2 d θ + cos 2 θ 2 d θ

1 + cos 2 θ 2 d θ = θ 2 + sin 2 θ 4 = θ 2 + sin θ cos θ 2

Mas como:

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

Ficamos com:

1 + cos 2 θ 2 d θ = 1 2 θ + sin θ cos θ

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro, vamos voltar às variáveis originais. Temos que a resposta deu:

1 2 θ + sin θ cos θ

Mas, como a substituição:

u = sin θ

Foi feita, vamos ter que:

θ = arcsin u

E da identidade trigonométrica:

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

Chegamos à:

u 2 + cos 2 θ = 1

cos 2 θ = 1 - u 2

cos θ = 1 - u 2

Agora sim podemos voltar pra variável u ! Vamos ter:

1 2 θ + sin θ cos θ = 1 2 arcsin u + u 1 - u 2

Mas a variável original nem era o u , não é mesmo? Era o x ! Sem problemas, vamos voltar pro x lembrando que:

u = e x

Sendo assim, fechamos a questão e o resultado da integral é:

1 - e 2 x e x   d x = 1 2 arcsin e x + e x 1 - e 2 x + C

Resposta

1 - e 2 x e x   d x = 1 2 arcsin e x + e x 1 - e 2 x + C

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