Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2014.1 - 5ª Noturno, Questão 4 a

Calcular:

a d x x 2 1 + 9 x 2

Passo 1

Uma raiz quadrada de um termo estranho no denominador? Toda a cara de uma integral por substituição trigonométrica. Esse caso, de acordo com a nossa teoria, é esse aqui:

x = a tg ( θ )

Agora, repara que tem um detalho no termo da raiz:

1 + 9 x 2

Temos que deixar o x 2 sozinho para descobrir qual seria o a 2 e assim o a :

1 9 + x 2 a 2 = 1 9 a = 1 3

Assim,

x = tg θ 3 d x = sec 2 θ 3 d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a substituição e resolver:

d x x 2 1 + 9 x 2 = sec 2 θ 3 d θ tg θ 3 2 1 + tg 2 θ

= 3 sec 2 θ d θ tg 2 θ sec θ

= 3 sec θ d θ tg 2 θ

= 3 1 cos θ d θ sen θ cos θ 2

= 3 cos θ sen 2 θ d θ

u = sen ( θ ) d u = cos ( θ ) d θ

= 3 cos θ sen 2 θ d θ = 3 ( u - 2 ) d u = 3 - u - 1 = - 3 sen θ + C

Passo 3

Vamos usar aquele triângulo auxiliar para desfazer a substituição do θ . Temos que

tg ( θ ) = 3 x = x 1 3

De acordo com essa figura, o valor de sen ( θ ) é:

sen ( θ ) = x x 2 + 1 9

Assim, o valor da integral será:

- 3 sen θ = - 3 x x 2 + 1 9

= - 3 x 2 + 1 9 x

Resposta

d x x 2 1 + 9 x 2 = - 3 x 2 + 1 9 x + C

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