Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2017.2, Questão Q01c

Calcule:

(a) 2 x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Tentar sumir com a raiz usando algum método de integração

Raizes, raízes e mais raízes. O que fazer com elas quando aparecem em integrais? Podemos tentar uma substituição simples, não? Mas talvez fique mais complicado. Que tal então uma trigonométrica? Dá uma olhada:

sin 2 θ +   cos 2 θ = 1

Sendo assim:

  cos 2 θ = 1 - sin 2 θ

cos θ = 1 - sin 2 θ

Opa, agora temos algo parecido com o denominador da integral, não? Se fizemos:

1 - x 2 = cos θ

Vamos acabar fazendo a substituição trigonométrica:

x = sin θ

d x = cos θ   d θ

Rearranjando a integral, vamos ter então:

2 x 2 1 - x 2 d x =   2 sin 2 θ cos θ cos θ   d θ =   2 sin 2 θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a integral rearranjada

Agora que sumimos com a raiz, podemos relaxar um pouco, não é mesmo? Precisamos resolver:

2 sin 2 θ d θ

Mas dá uma olhada:

sin 2 θ = 1 2 1 - cos 2 θ

Ai sim! Com essa relação trigonométrica a gente tira o “ao quadrado” e fica ainda mais tranquilo. Temos então:

2 sin 2 θ d θ = 2 2 1 - cos 2 θ d θ =   1 d θ - cos 2 θ d θ

2 sin 2 θ d θ = θ - cos 2 θ d θ

Realizando a substituição simples

2 θ = u   d θ = d u 2

cos u 2 d u = sin u 2

Resumindo, temos que:

2 x 2 1 - x 2 d x = θ - sin u 2 =   θ - sin 2 θ 2

2 x 2 1 - x 2 d x =   θ - sin θ cos θ

Mas temos que voltar à variável original agora. Pra isso, só lembrar do que já fizemos, beleza? Então tínhamos:

x = sin θ   θ = arcsin x

1 - x 2 = cos θ

Mel na chupeta, só substituir agora:

2 x 2 1 - x 2 d x =   arcsin x - x 1 - x 2

Resposta

2 x 2 1 - x 2 d x = arcsin x - x 1 - x 2 + C  

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